Question

Qual é a área de um círculo circunscrito em um triângulo equilátero cujo lado mede 18cm?

Answer 1

Para calcular a área da circunferência (A), precisamos obter o valor do seu raio (r), pois sabemos que:
A = π × r² [1]
Para obter o raio desta circunferência, sabemos que, em um triângulo, o circuncentro (encontro das mediatrizes) é o centro da circunferência que o circunscreve. Assim, a distância do circuncentro a um dos vértices é o raio da circunferência circunscrita.
Para obtermos o circuncentro do triângulo, que neste caso é equilátero, basta traçarmos por dois de seus vértices uma perpendicular aos lados opostos a estes vértices. O ponto de encontro destas perpendiculares será o circuncentro da circunferência, que é, também o seu baricentro. Como sabemos que o baricentro divide a mediana na proporção de 2/3, poderemos obter o seu valor e, consequentemente, o raio da circunferência.
Para isto:
1. Vamos chamar aos vértices do triângulo de A, B e C;
2. Aos pontos médios dos lados AB e BC, vamos chamar, respectivamente, de M e N.
3. Ao traçarmos AN e CM, obteremos o ponto O, centro da circunferência;
4. O segmento AM é igual à metade do lado AB e, portanto, mede 9 cm; este segmento AM é também cateto do triângulo retângulo AMC;
5. O segmento CM é cateto do triângulo retângulo AMC;
6. Neste triângulo, o ângulo ACM mede 30º, pois CM é bissetriz do ângulo ACB;
7. Aplicando a função trigonométrica tangente ao triângulo AMC, obteremos:
tg 30º = AM ÷ CM
CM = AM ÷ tg 30º
CM = 9 cm ÷ 0,577
CM = 15,60 cm
Como o baricentro divide esta medida na razão 2/3, a distância CO, raio da circunferência que circunscreve este triângulo, mede:
CO = CM × 2/3
CO = 15,60 × 2/3
CO = 10,40 cm, raio da circunferência
8. Obtido o valor do raio, vamos substituí-lo em [1]:
A = π × r²
A = 3,14 × 10,40²
A = 3,14 × 108,16 cm
A = 339,6224 cm², área da circunferência que circunscreve o triângulo equilátero de raio igual a 18 cm