Question

Sendo Z=2+2i, a forma trigonométrica de Z, é:

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Temos que um número complexo em sua forma trigonométrica obedece a seguinte ordem:

$\boxed{z = \rho.( \cos \theta + i. \sin \theta )}$

Note que temos que calcular algumas coisinhas antes de chegar na forma trigonométrica.

1) Módulo:

O módulo é a distância da origem do plano Argand-gauss pode ser calculado através de um pitágoras:

$\bigstar \rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2}} \bigstar$

a → representa a parte real = 2

b → representa a parte imaginaria = 2.

Substituindo:

$\rho = \sqrt{2 {}^{2} + 2 {}^{2} } \\ \rho = \sqrt{4 + 4 } \\ \rho = \sqrt{8} \\ \boxed{\rho = 2 \sqrt{2} }$

2) Argumento:

É o ângulo formado com relação ao eixo real (x), possui duas fórmulas: uma para o seno e outra para o cosseno.

$\boxed{ \begin{cases} \sin \theta = \frac{ b}{ \rho} \\ \\ \cos \theta = \frac{a}{ \rho} \end{cases}}$

Substituindo os dados:

$\sin \theta = \frac{ \cancel2}{ \cancel2 \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{4}} = \boxed{\frac{ \sqrt{2} }{2} } \\ \\ \cos \theta = \frac{ \cancel2}{ \cancel2 \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{1 }{2} . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{4} } = \boxed{\frac{ \sqrt{2} }{2} }$

Agora você pensa qual ângulo possui o seno igual a √2/2 e cosseno igual a √2/2, certamente é o ângulo de 45°

Então a sua forma trigonométrica é:

III) Forma trigonométrica:

$\boxed{ \begin{cases} z = 2 \sqrt{2} .( \cos45 {}^{ \circ } + i. \cos45 {}^{ \circ} ) \\ ou \\ z = 2 \sqrt{2} .( \cos \frac{\pi}{4} + i. \sin \frac{\pi}{4} ) \end{cases}}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️