• Matéria: Física
  • Autor: Anônimo
  • Perguntado 7 anos atrás

Um lançador dispara um projétil com velocidade de 48 m/s que faz um ângulo de 30° com a horizontal. Qual o alcance horizontal desse projétil?

Respostas

respondido por: SelfTaught
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Resposta:

alcance na horizontal = 203,7 metros

Explicação:

Esse é o tipo de exercício em que é necessário decompor o movimento do projétil em uma componente vertical e em outra componente horizontal. Ao fazer isso o problema fica mais fácil de ser resolvido pois na vertical o movimento é puramente retilíneo, uniformemente variado (MRUV) e na horizontal o movimento é puramente retilíneo e uniforme (MRU). Agora que já sabemos disso, vamos aos cálculos:

Se a velocidade faz um ângulo de 30^\circ com a horizontal então as componentes da velocidade são dadas por:

vetor velocidade:

v = v_x\,\hat{x} + v_y\,\hat{y}

módulo do vetor velocidade:

v=48\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

ângulo com a horizontal:

\theta = 30^\circ

componente horizontal da velocidade: v_x = v\,\text{cos}\,(\theta) = 48\cdot\cos(30^\circ) = 48\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \,\frac{\text{m}}{\text{s}}  

componente vertical da velocidade: v_y = v\,\text{sen}\,(\theta) = 48\cdot\text{sen}\,(30^\circ) = 48\cdot\frac{1}{2} = 24\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

Pois bem, a distância que o objeto alcança na horizontal depende do tempo que o objeto leva para subir e depois cair, pois lembre-se que o objeto está realizando uma trajetória descrita por uma parábola, como por exemplo no lançamento de uma bola ou de um míssil. Dito isso, precisamos calcular o tempo que o objeto leva para subir mais o tempo que o objeto leva para cair. É claro que o tempo de subida é igual ao tempo de descida, então precisamos achar o tempo que o objeto leva para alcançar a sua altura máxima.

O objeto alcança a sua altura máxima quando a componente vertical for zero pois é nesse momento que o objeto começa a cair. Pois bem, a equação para calcular isso é a seguinte:

v_y(t) = v_y(0) - gt ----> Eq(1)

velocidade vertical quando o projetil atinge a altura máxima: v_y(t) = 0

velocidade vertical no instante de lançamento: v_y(0) = v_y = 24\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

tempo de subida: t = ?

gravidade: g = 9,8\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Substituindo os valores na Eq. (1), temos:

0 = 24-9,8t \Rightarrow t = \frac{-24}{-9,8} \approx 2,45\,\text{s}

Ou seja, o projétil leva aproximadamente 2,45 segundo para subir, logo ele levará mais 2,45 segundos para descer, então o tempo total que o projétil permanece voando é:

t_{\text{total}} = t_{\text{subida}} + t_{\text{descida}} = 2,45\,\text{s} + 2,45\,\text{s} = 4,9\,\text{s}.

Agora é hora de usarmos a componente horizontal da velocidade. Essa é mais fácil do que a componente vertical, pois como na horizontal o movimento é MRU, então a equação é dada por:

\Delta x = v_xt_{\text{total}}

alcance na horizontal: \Delta x

Agora é só usar os valores encontrados acima e teremos o alcance:

\Delta x = v_xt_{\text{total}} = (24\sqrt{3})\cdot(4,9) \approx 203,7\,\text{m}.

Ou seja, o alcance horizontal do projétil foi de aproximadamente 203,7 metros.

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