Question

Multiplicadores de Lagrange.

Determine os Extremos:
z = 25 - x² - y² tais que x² + y² - 4y = 0

Answer 1

Olá, Fapojunior.

O Método dos Multiplicadores de Lagrange enunciado para $\mathbb{R}^2$ estabelece que, dada uma função objetiva f(x, y), sujeita à restrição g(x, y) = k, os pontos de máximo ou de mínimo da função f são as soluções do sistema:

$\begin{cases}\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)\\g(x,y)-k=0,\end{cases}$

onde $\lambda$ é o multiplicador de Lagrange.

No presente caso, para que possamos aplicar o teorema, façamos $f(x,y)=25-x^2-y^2$  e  $g(x,y)=x^2+y^2-4y$


Cálculo dos gradientes de f e g:

$\nabla f(x,y)= \frac{\partial f}{\partial x}\vec i+\frac{\partial f}{\partial y}\vec j=-2x\vec i-2y\vec j\\\\ \nabla g(x,y)= \frac{\partial g}{\partial x}\vec i+\frac{\partial g}{\partial y}\vec j=2x\vec i+(2y-4)\vec j$


Montagem do sistema:

$\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)\Rightarrow -2x\vec i-2y\vec j=\lambda[2x\vec i+(2y-4)\vec j]\Rightarrow\\\\-2x\vec i-2y\vec j=2\lambda x\vec i+\lambda (2y-4)\vec j\Rightarrow\begin{cases}-2x=2\lambda x\\-2y=\lambda (2y-4)\\x^2+y^2-4y=0\end{cases}$


Solução do sistema:

$\boxed{\lambda=-1}\Rightarrow -2y=-2y+4\Rightarrow 0y=4$


Sistema impossível. O enunciado está correto?