Question

Sobre um polinômio p(x) de grau 1, sabe-se que:
• sua raiz é igual a 2;
• p(-2) é igual ao dobro de sua raiz.
Nessas condições, é correto afirmar:
a. p(x) = -x +2.
b. p(x) = 2x - 4.
c. p(x) = x -2.
d. p(x) = x - x -2.
e. p(x) = -x2 + x + 2.

Answer 1

Como o polinômio p(x) é de grau 1, podemos escrevê-lo como $\mathsf{p(x)=ax+b,\,a\neq0.}$

É dado que sua raiz é igual a 2. Então:

$\mathsf{p(2)=2a+b=0}$

Além disso, sabe-se que p(-2) é igual ao dobro de sua raiz. Desse modo:

$\mathsf{p(-2)=-2a+b= 4}$

Temos os seguinte sistema:

$\begin{cases}2a+b=0\\-2a+b= 4\end{cases}$

Da primeira equação, seque que:

$\mathsf{2a+b= 0}\implies\mathsf{-2a=b}$

Substituindo $\mathsf{-2a=b}$ na equação, vem que:

$\mathsf{b+b=4}\implies\mathsf{2b=4}\implies\fbox{\mathsf{b=2}}$

Logo, o coeficiente b é igual a 2. Como $\mathsf{-2a=b},$ decorre que $\mathsf{-2a=2}.$

Portanto, $\fbox{\mathsf{a = -1.}}$

Logo, o polinômio p(x) é $\fbox{\mathsf{p(x)=-x+2}}$

e a alternativa correta é a letra a.