Question

Prove que
$a( \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b( \frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + c( \frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + 3 = 0$
quando a+b+c=0​

Answer 1

Seja

$E = a \left( \dfrac 1b + \dfrac 1c\right) + b \left ( \dfrac 1c + \dfrac 1 a\right) + c \left( \dfrac 1a+ \dfrac 1b \right) + 3$

Queremos provar a identidade E = 0 supondo a+b+c = 0. Noteamos que isso implica -a = b+c. Assim, podemos escrever

$\dfrac 1b + \dfrac 1c = \dfrac{b+c}{bc} = -\dfrac {a}{bc} = -\dfrac{a^2}{abc}$

E similarmente podemos encontrar também que $\frac 1c+\frac1a = -\frac{b^2}{abc}$ e $\frac 1a + \frac 1b = -\frac{c^2}{abc}$. Substituindo esses termos em E temos

$E = -\dfrac{a^3}{abc} -\dfrac{b^3}{abc} -\dfrac{b^3}{abc} + 3 = \dfrac{-a^3-b^3-c^3+3abc}{abc}$

Assim, para mostrar que  E = 0 é suficiente provar que

$a^3+b^3+c^3-3abc = 0$  ( I )

Essa última igualdade é um problema relativamente famoso. Vamos provar ( I ) de duas formas diferentes.

Primeira maneira: Usando determinantes.

Consideramos a seguinte matriz:

$A = \left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right]$

Notamos que det(A) = a³+b³+c³-3abc. Consideramos a matriz B a sequir obtida a partir de A somando a segunda e terceira linha na primeira linha:

$B = \left[\begin{array}{ccc}a+b+c&a+b+c&a+b+c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right]$

Pelas propriedades do determinante, segue que det(B) = det(A) já que B foi obtida ao somarmos linhas de A. Por outro lado temos

det(B) = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

Ou seja, concluímos que

a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

Como estamos supondo a+b+c = 0 segue que

a³+b³+c³-3abc = 0

Portanto ( I ) é verdadeira.

Segunda maneira:

Para simplificar a escrita, sejam S₁ = a+b+c, S₂ = ab+bc+ca e S₃ = abc. Considere o seguinte polinômio:

p(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x³ - (a+b+c)x² + (ab+bc+ca)x - abc

Ou seja,

p(x) = x³ - S₁x² + S₂x - S₃

Observamos que a,b,c são as raízes de p. Logo, p(a) = p(b) = p(c) = 0. Portanto:

p(a) +p(b) +p(c) = 0

(a³+b³+c³) - S₁(a²+b²+c²) + S₂(a+b+c) - 3S₃ = 0

(a³+b³+c³) - 3S₃ = S₁(a²+b²+c²) - S₂(a+b+c)

(a³+b³+c³) - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²) - (ab+bc+ca)(a+b+c)

a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

Como a+b+c = 0 segue que ( I ) e verdadeira.

De qualquer forma, concluímos que ( I ) e verdadeira caso a+b+c = 0. Assim temos E = 0. Portanto

$\boxed{a \left( \dfrac 1b + \dfrac 1c\right) + b \left ( \dfrac 1c + \dfrac 1 a\right) + c \left( \dfrac 1a+ \dfrac 1b \right) + 3 = 0}$

como queríamos.

Obs: É possível mostrar a seguinte identidade usando as ideias da segunda maneira:

$x^{n+3} + y^{n+3} + z^{n+3} = (x^{n+2} + y^{n+2} + z^{n+2})(x+y+z) - \\[1.5ex]\phantom{x^{n+2} + y^{n+2} + z^{n+2} =}-( x^{n+1} + y^{n+1} + z^{n+1}) (xy+yz+zx)+\\[1.5ex]\phantom{x^{n+2} + y^{n+2} + z^{n+2} =}+( x^{n} + y^{n} + z^{n}) (xyz)$

Para n = 0 e x = a, y = b, z = c temos

(a³+b³+c³) = (a²+b²+c²)(a+b+c) - (a¹+b¹+c¹)(ab+bc-ca) +(a⁰+b⁰+c⁰)abc

reorganizando temos

a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

que usamos anteriormente. Esse tipo de abordagem é conhecida por polinômios simétricos.