Question

\left\{\begin{array}{l}(x-a)^2-y^2=(a+1)^2\\x^2+y^2=1\end{array}\right.
(a) Para que valores de a\in\mathbb{R} o sistema possui apenas um par ordenado (x,y)\in\mathbb{R}^2 como solução?
(b) Para que valores de a\in\mathbb{R} o sistema possui exatamente dois pares ordenados (x,y)\in\mathbb{R}^2 como solução?
(c) Para que valores de a\in\mathbb{R} o sistema possui exatamente três pares ordenados (x,y)\in\mathbb{R} como solução?
(d) Existem algum valor de a\in\mathbb{R} para o qual o sistema tenha mais de três pares ordenados como solução?

Answer 1

a) para qualquer valor de $a>1$ ou $a<-2$ o sistema apresentará apenas um par ordenado como solução

b) apenas para o valor $a=0$ o sistema apresentará dois pares ordenados como soluções.

c) para os valores $-2<a<0$ teremos 3 pares ordenados como solução

d) não existe valores reais que dê 4 pares ordenados como solução.isto acontece por que, para valores positivos, o lado esquerdo da hipérbole será sempre tangente ao circulo.

Já para  valores negativos de $a$ o lado esquerdo da parábola nunca interceptará o círculo.

Os graficos representam os 3 casos possíveis que se pode obter com este sistema.