Question

Qual é o cosseno do ângulo entre os vetores u = (1, 2, -1) e v = (2, 2, 2)?
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Answer 1

Usando Produto escalar, podemos determinar o Cosseno do ângulo entre dois vetores.

Sendo dois vetores U e V.

O Produto escalar é dado por :

$U.V = |U|.|V|.Cos(\alpha)$

Onde :

$|U|$ e $|V| =$ são os módulos dos vetores.

$\alpha =$ ângulo entre os dois vetores.

Relembrando módulo de um vetor :

$W = ( i, j ,k )$

$|W| = \sqrt{i^2 + j^2 + k^2 }$  

Sabendo disso vamos para nossa questão.

A questão nos pede o ângulo entre os vetores U e V, e informa :

$U = (1,2,-1)$

$V = (2,2,2)$

Vamos primeiro fazer o produto escalar dos dois vetores e depois achar o módulo de ambos, separadamente.

$U.V = (1,2,-1).(2,2,2)$

$U.V = 1.2 + 2.2 + (-1).2$

$U.V = 2 + 4 - 2$

$U.V = 4$

Agora vamos achar o módulo do vetor $U$ :

$U = (1,2,-1)$

$|U| = \sqrt{1^2 + 2^2 +(-1)^2 }$

$|U| = \sqrt{1 +4+1 }$

$|U| = \sqrt{6}$

Agora vamos achar o módulo do vetor $V$:  

$V = (2,2,2)$

$|V| = \sqrt{2^2 +2^2 +2^2 }$

$|V| = \sqrt{12}$

Agora vamos substituir os respectivos valores na fórmula do produto escalar :

$U.V = |U|.|V|.Cos(\alpha)$

$4 = \sqrt{6}.\sqrt{12}.Cos(\alpha)$

$4 = \sqrt{6.12}.Cos(\alpha)$

$4 = \sqrt{72}.Cos(\alpha)$

$\sqrt{72} = \sqrt{2.36} = 6.\sqrt{2}$, portanto :

$4= 6.\sqrt{2}.Cos(\alpha)$

$Cos(\alpha) = \frac{4}{6.\sqrt{2}}$

$Cos(\alpha) = \frac{2}{3\sqrt{2}}$

$Cos(\alpha) =\frac{2.\sqrt{2}}{6}$   

$Cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{3}$