Question

Aman-rj os valores de x que satisfazem a inequação cos(5x)< ou igual a 1/2 são?

Answer 1

Hallemos el borde

$\cos 5x =\frac{1}{2}\iff 5x=\frac{\pi}{3}\iff x=\frac{\pi}{15}$

Si $x\in\left[0,\frac{\pi}{10}\right]$ la función coseno es decreciente, por ello si tenemos

                               $\cos (5x)\leq \frac{1}{2}$

entonces
                    $x\in\left[\frac{\pi}{15},\frac{\pi}{10}\right]$..........(1)

Luego, si $5x\in \left(\frac{\pi}{2},\pi\right]$ que es lo mismo decir

                    $x\in \left(\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{5}\right]$...........(2)

entonces tenemos que $\cos(5x)\ \textless \ 0$, eso implica que unamos (1) y (2)

$x\in\left[\frac{\pi}{15},\frac{\pi}{10}\right] \cup \left(\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{5}\right]$

que es lo mismo a

                  $x\in\left[\frac{\pi}{15},\frac{\pi}{5}\right]$

Luego la solución general es:

$x\in \left[\frac{2\pi k}{5}-\frac{\pi}{5},\frac{2\pi k}{5}-\frac{\pi}{15}\right]\cup \left[\frac{2\pi k}{5}+\frac{\pi}{15},\frac{2\pi k}{5}+\frac{\pi}{5}\right]$

donde $k \in \mathbb Z$