Question

Determine os polinômios f de grau 3 tais que f(x) − f(x − 1) = x2, para todo x ∈ R.

Answer 1

Resposta:

$f(x)=\frac{1}{3}x^{3} +\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x + d$  ( Qualquer d Real)

Explicação passo-a-passo:

Seja  $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$  a,b,c,d Reais

Como f(x)-f(x-1)=x²:

Calculando f(x-1) :

$f(x-1)=a(x-1)^{3}+b(x-1)^{2}+c(x-1)+d\\f(x-1)=a(x^{3}-3x^{2}+3x-1)+b(x^{2}-2x+1)+c(x-1)+d\\\\f(x-1)=x^{3}(a)+x^{2}(-3a+b)+x(3a-2b+c)+(-a+b-c+d)$

Agora substituimos na igualdade:

f(x)-f(x-1)=x²:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d -(x^{3}(a)+x^{2}(-3a+b)+x(3a-2b+c)+(-a+b-c+d))=x^{2}\\\\x^{2}(3a)+x(-3a+2b)+(a-b+c)=x^{2}\\\\Assim:\\\\\ 3a=1--->a=\frac{1}{3} \\-3a+2b=0 --->b=\frac{1}{2} \\\\a-b+c=0--->c=\frac{-1}{3}+\frac{1}{2}\\c =\frac{1}{6}$

$f(x)=\frac{1}{3}x^{3} +\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x + d$

Qualquer d Real