Question

4. Dados os pontos A(2 , 3) e B(-1 , -4), determine a equação de uma reta r paralela a uma reta determinada pelos pontos A e B, e que passa pelo ponto C(-1 , 2).

6. Considere os pontos A(2 , 2) e B( -3 , -5) , calcule:a) A distância entre esses dois pontosb) O ponto médio do segmento que contém essas extremidadesc) A equação , na forma geral e reduzida, da reta que passa pelos pontos A e B. *

Answer 1

Resposta 4) $x=-1+3t\\y=2+7t$

Explicação passo-a-passo: Queremos um reta r paralela a reta determinada pelos pontos A(2,3) e B(-1,-4), ou seja, uma reta com o mesmo vetor direcional da reta gerada por esses pontos, e que passa pelo ponto C(-1,2).

Vamos então descobrir o vetor dessa reta, o vetor BA (podemos fazer também com o vetor AB, agora vai dar os valores ao contrário, mas no fim o resultado vai ser o mesmo) é dado por $(x_A-x_B,y_A-y_B)=(2-(-1),3-(-4))=(3,7)$ .

Já temos então o vetor e um ponto da reta r, com essas informações podemos fazer a equação paramétrica da reta:

$x=x_1- x_vt\\y=y_1-y_vt$

onde $(x_1,y_1)$ é um ponto da reta e $(x_v,y_v)$ é o vetor da reta e $(x,y)$ um ponto genérico da reta, então:

$x=-1-(-3)t\\y=2-(-7)t$

logo,

$x=-1+3t\\y=2+7t$

Portanto essa é uma equação paramétrica da reta r, caso queira a forma reduzida ou a geral, basta fazer um sisteminha e cancelar $t$, mas como não foi especificado, desse jeito aí funciona perfeitamente.

RESPOSTA 6a) $\sqrt{74}$    b) $\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}\right)$     c) geral: $7x-5y-4=0$   e reduzida: $y=\dfrac{7}{5}x-\dfrac{4}{5}$

a) Para calcular distância usamos a seguinte fórmula:

$d_{AB}=\sqrt{({x_2-x_1)^2}+(y_2-y_1)^2}$  onde $d_{AB}$ é "distância entre A e B, e  $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ são os pontos:

$d_{AB}=\sqrt{(-3-2)^2+(-5-2)^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}$

b) Ponto médio, basta somar as coordenas x e y de cada ponto de dividir por 2:

$M=\left(\dfrac{2+(-3)}{2}, \dfrac{2+(-5)}{2}\right) = \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{3}{2}\right)$

c) Como temos dois pontos, vamos fazer por determinante de matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\x_1&x_2&1\\y_1&y_2&1\end{array}\right] =0$

onde $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ são pontos pertencentes a reta, no caso (2,2) e (-3,-5)

$\left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\2&2&1\\-3&-5&1\end{array}\right]=0$

$2x-3y-10+6+5x-2y=0\\7x-5y-4=0$

essa é a forma geral, e para encontrarmos a reduzida, basta isolar $y$:

$-5y=-7x+4\\\\y=\dfrac{7}{5}x-\dfrac{4}{5}$

Qualquer dúvida nos processos aí, pode perguntar :)

Espero ter ajudado.