Question

integral de ∫ 4 x^3 . √x ^4 +5dx resulta em:

Answer 1

Queremos calcular a integral

$I = \displaystyle \int 4x^3 \sqrt{x^4+5}\, dx$

Vamos fazer a substituição y = x⁴+5. Logo temos dy = 4x³ dx. Portanto temos:

$I = \displaystyle \int \underbrace{\sqrt{x^4+5}\,}_{\displaystyle \sqrt y} \, \underbrace{\vphantom{\sqrt x^4}4x^3 \, dx}_{\displaystyle dy} = \int \sqrt y \, dy$

Lembrando que uma primitiva de yⁿ é  $\mathsf{\dfrac{y^{n+1}}{n+1}}$ para n diferente de -1, segue que

$I = \displaystyle \int y^{1/2}\, dy = \dfrac{2y^{3/2}}{3} + C = \dfrac{2(x^4+5)^{3/2}}{3} + C$

Resposta:

$\displaystyle \int 4x^3 \sqrt{x^4+5} \, dx = \dfrac{2(x^4+5)^{3/2}}{3} + C$