Question

Dois lados de um triângulo medem 6cm e 8cm, e formam,entre si, um ângulo de 120°. A medida do outro lado desse triângulo, em cm é

Answer 1

Lei dos cossenos.

Tendo dois lados de um triângulo e o ângulo entre esses lados, podemos determinar o terceiro lado através da lei dos cossenos, lei que é dada por :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2.b.c.Cos(\alpha)$

onde :

$a =$ o lado que queremos encontrar

$b$ e $c$ = os lados que já temos.

$\alpha =$ o ângulo oposto ao lado que queremos encontrar.

Nossa questão nos informa o seguinte :

lados : 6 e 8.

ângulo = 120°

Sendo assim, vamos aplicar lei dos cossenos :

$x^2 = 6^2 + 8^2 -2.6.8.Cos(120)$

$x^2 = 36 + 64 - 96.Cos(120)$

Lembrando um pouco da trigonometria, sabemos que :

$Cos(180-x) = -Cos(x)$, No caso nosso x = 60. ficando :

$Cos(180-60) = -Cos(60)$

$Cos(120) = -Cos(60)$  

substituindo

$x^2 = 36 + 64 - 96.Cos(120)$

$x^2 = 100 - 96.(-Cos(60))$

$x^2 = 100 + 96.Cos(60)$

Sendo $Cos(60)=\frac{1}{2}$, substituindo :

$x^2 = 100 + 96.\frac{1}{2}$

$x^2 = 100 + 48$  

$x^2 = 148$

$x = \sqrt{148}$

Note que 148 = 4.37, ficando da seguinte forma :

$x = \sqrt{4.37}$ ⇒

Note que 4 pode sair da raiz.

$\sqrt{4.37}= \sqrt{4}.\sqrt{37}$ ⇒ $2.\sqrt{37}$. portanto :

$x = 2.\sqrt{37}$