Question

A distancia entre os pontos A (-3 , 1) e B (x , 7) é 6√2, calcule os possíveis valores para a abscissa x

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Para calcular a distância entre dois pontos usamos a seguinte fórmula:

$\boxed{d_{ab} = \sqrt{(x _b - x_a) {}^{2} + (y _b - y_a) {}^{2} } }$

Normalmente substituímos os dados e encontramos a distância, agora vamos fazer o inverso, ou seja, temos a distância e queremos saber o valor de um dos valores das coordenadas.

Para facilitar nosso cálculo vamos organizar os dados:

$\begin{cases}A (- 3,1) \rightarrow xa = - 3 \: \: \: \: ya = 1\\ B (x,7) \rightarrow xb = x \: \: \: \: \: yb = 7\\ \\ 6 \sqrt2 \rightarrow d = 6 \sqrt{2} \end{cases}$

Substituindo:

$d_{ab} = \sqrt{(x - ( - 3)) {}^{2} + (7 - 1) {}^{2} } \\ d_{ab} = \sqrt{ (x + 3) {}^{2} + (6) {}^{2} } \\ d_{ab} = \sqrt{(x + 3) {}^{2} + 36}$

Vamos resolver esse produto notável (x + 3)²:

$\boxed{\begin{cases}(x + 3) {}^{2} \ \rightarrow (x + 3).(x + 3) \\ \\ x.x + 3.x + 3.x + 3.3 \\ \bigstar x {}^{2} + 6x + 9 \bigstar \end{cases}}$

$d_{ab} = \sqrt{x {}^{2} + 6x + 9 + 36 } \\ d_{ab} = \sqrt{x {}^{2} + 6x + 45} \\ 6 \sqrt{2} = \sqrt{x {}^{2} + 6x + 45}$

Chegamos a uma equação irracional, para resolvê-la devemos elevar ambos os membros ao quadrado para que a raiz possa ser cancelada.

$(6 \sqrt{2} ) {}^{2} = (\sqrt{x {}^{2} + 6x + 45 } ) {}^{2} \\ 36.2 = x {}^{2} + 6x + 45 \\ x {}^{2} + 6x + 45 - 72 = 0 \\ \bigstar x {}^{2} + 6x - 27 = 0 \bigstar$

Chegamos a mais uma equação, só que dessa vez é do segundo grau, então temos que resolver através de Delta e Bháskara:

I) Coeficientes:

$\begin{cases}a = 1 \\ b = 6 \\ c = - 27\end{cases}$

II) Bháskara:

$\boxed{x = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4.a.c } }{2.a}} \\ \\ x = \frac{ -6 \pm \sqrt{(6) {}^{2} - 4.1.( - 27)} }{2.1} \\ \\ x = \frac{ - 6 \pm \sqrt{36 + 108} }{2} \\ \\ x = \frac{ - 6 \pm \sqrt{144} }{2} \\ \\ x = \frac{ - 6 \pm12}{2} \\ \\ x_1 = \frac{ - 6 + 12}{2} \\ x_1 = \frac{6}{2} \\ \boxed{x_1 = 3} \\ \\ x_2 = \frac{ - 6 - 12}{2} \\ x_2 = \frac{ - 18}{2} \\ \boxed{x_2 = - 9}$

Temos então que os possíveis valores são "3" e "-9".

Resposta: x = 3 ou x = -9.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️