Question

Se n é o número de subconjuntos não-vazios o conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, então valor de n é?

Answer 1

Olá, Ângela.

O conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, é uma progressão aritmética com as seguintes características:

$\begin{cases}\text{primeiro termo: }a_1=5\\\text{\'ultimo termo: }a_n=35\\\text{raz\~ao: }r=5\end{cases}$

Assim, podemos encontrar o seu número de elementos $(n):$

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r\Rightarrow 35=5+(n-1)\cdot5\Rightarrow\\\\ 5(n-1)=35-5\Rightarrow n-1=\frac{30}5\Rightarrow n=6+1\Rightarrow\\\\ n=7$

Há um teorema que diz que o número de subconjuntos de qualquer conjunto com $n$ elementos é $2^n.$ Entretanto, este número inclui o conjunto vazio. Descontando-se o conjunto vazio, temos que o número de subconjuntos não-vazios é $2^n-1.$

Portanto, o número de subconjuntos não-vazios do conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40 é:

$2^n-1=2^7-1=128-1=\boxed{127}$