Determine a medida da altura e da aresta lateral de uma pirâmide que tem por base um triângulo equilátero de lado 16 cm , sabendo que as faces laterais formam com o plano da base ângulos de 60°
Respostas
Resposta:Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.
Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.
Elementos de uma pirâmide
Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:
Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
Apótema: É a altura de cada face lateral.
Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.
triangular quadrangular pentagonal hexagonal
base:triângulo base:quadrado base:pentágono base:hexágono
Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:
A(lateral) = n A(face)
Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.
Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:
A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12
A(lateral) = 4.12 = 48 cm²
Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral.
Usaremos a notação R[z] para representar a raiz quadrada de um número z>0.
Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base.
Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:
(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]
A área da face e a área lateral, são dadas por:
A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]
A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]
Área total de uma Pirâmide
A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:
A(total) = A(lateral) + A(base)
Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?
Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:
A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162
A(lateral) = 4.162 = 648
A(base) = 18² = 324
Concluímos que:
A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970
Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular.
Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.
A(base) = 2.2 = 4 m²
A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³
Logo, a área total da barraca é
A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²
Volume de uma Pirâmide
O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:
Volume = (1/3) A(base) h
Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, logo A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².
A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].