Question

Determine a expansão em série de Maclaurin da função f(x)= olier elevado a cinco x
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Answer 1

A Série de Maclaurin é uma Série de Taylor centrada em a = 0:

$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)(x-a)^{n}}{n!}~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)\cdot x^{n}}{n!}}}$
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$f(x)=e^{5x}$

Vamos achar as três primeiras derivadas de f e aplicá-las em x = 0:

$f'(x)=e^{5x}\cdot5=5e^{5x}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f'(0)=5e^{0}=5\\\\f''(x)=5e^{5x}\cdot5=25e^{5x}~~~~~~~~~~~~~~~f''(0)=25e^{0}=25\\\\f'''(x)=25e^{5x}\cdot5=125e^{5x}~~~~~~~~~~~f'''(0)=125e^{0}=125$

Podemos perceber uma lei de formação nas derivadas de e^5x:

$f^{(n)}(x)=5^{n}e^{5x}~~~~~~\therefore~~~~~~f^{(n)}(0)=5^{n}$

Então, podemos escrever f(x) como a seguinte Série de Taylor:

$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)x^{n}}{n!}\\\\\\f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{5^{n}x^{n}}{n!}\\\\\\\boxed{\boxed{f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(5x)^{n}}{n!}}}$