Question

Considere a curva paramétrica C dada pelo seu vetor posição r(t)= t² i mais t³ j
.
Encontre o comprimento l da curva C entre os pontos A=(1,1) e .B= (4,8)

Answer 1

$\mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{\widehat{i}}+y(t)\,\mathbf{\widehat{j}}\\ \\ \mathbf{r}(t)=t^{2}\,\mathbf{\widehat{i}}+t^{3}\,\mathbf{\widehat{j}}\\ \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x(t)=t^{2}\\ y(t)=t^{3} \end{array} \right.$


O comprimento $L$ do arco de uma curva paramétrica compreendida entre os pontos $\left(x_{1},\,y_{1} \right )$ e $\left(x_{2},\,y_{2} \right )$ é dado por

$L=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{\left[x'(t)\right]^{2}+\left[y'(t)\right]^{2}}dt$


Um ponto qualquer $\left(x,\,y \right )$ desta curva é da forma

$\left(t^{2},\,t^{3} \right )$


$\bullet\,\,$ Para o ponto $A\left(1,\,1 \right )$, temos

$t_{1}^{2}=1\;\;\text{e}\;\;t_{1}^{3}=1\;\Rightarrow\;t_{1}=1$


$\bullet\,\,$ Para o ponto $B\left(4,\,8 \right )$, temos

$t_{2}^{2}=4\;\;\text{e}\;\;t_{2}^{3}=8\;\Rightarrow\;t_{2}=2$


Calculando as derivadas de $x(t)$ e $y(t)$, com relação a $t$, temos

$x'(t)=2t\;\;\text{e}\;\;y'(t)=3t^{2}$



Logo, o comprimento do arco pedido é

$L=\int_{1}^{2}\sqrt{\left(2t\right)^{2}+\left(3t^{2}\right)^{2}}\,dt\\ \\ L=\int_{1}^{2}\sqrt{4t^{2}+9t^{4}}\,dt\\ \\ L=\int_{1}^{2}\sqrt{t^{2}\cdot\left(4+9t^{2} \right )}\,dt\\ \\ L=\int_{1}^{2}\sqrt{t^{2}}\cdot\sqrt{4+9t^{2}}\,dt\\ \\ L=\int_{1}^{2}\left|t\right|\cdot\sqrt{4+9t^{2}}\,dt$

Como os valores do intervalo de integração são positivos, podemos afirmar que

$|t|=t,\;\text{ para }1\leq t \leq 2$

e assim, temos

$L=\int_{1}^{2}t\cdot\sqrt{4+9t^{2}}\,dt$


Fazendo a seguinte substituição:

$u=4+9t^{2}\\ \\ du=18t\,dt\;\Rightarrow\;t\,dt=\dfrac{1}{18}\,du\\ \\ \\ t=1\;\Leftrightarrow\;u=4+9\cdot 1^{2}=13\\ \\ t=2\;\Leftrightarrow\;u=4+9\cdot 2^{2}=40$


Substituindo na integral e mudando os limites de integração, temos

$L=\int_{13}^{40}\dfrac{1}{18}\cdot\sqrt{u}\,du\\ \\ L=\dfrac{1}{18}\int_{13}^{40}{u^{\,^{1}\!\!\diagup\!\!_{2}}}\,du\\ \\ L=\dfrac{1}{18}\cdot \left[\dfrac{u^{\,^{1}\!\!\diagup\!\!_{2}+1}}{\,^{1}\!\!\diagup\!\!_{2}+1} \right ]_{13}^{40}\\ \\ L=\dfrac{1}{18}\cdot \left[\dfrac{u^{\,^{3}\!\!\diagup\!\!_{2}}}{\,^{3}\!\!\diagup\!\!_{2}} \right ]_{13}^{40}\\ \\ \\ L=\dfrac{1}{18}\cdot\dfrac{2}{3} \left[u^{\,^{3}\!\!\diagup\!\!_{2}} \right ]_{13}^{40}\\ \\ L=\dfrac{1}{27}\cdot \left[40^{\,^{3}\!\!\diagup\!\!_{2}}-13^{\,^{3}\!\!\diagup\!\!_{2}} \right ]\\ \\ L=\dfrac{1}{27}\cdot \left[\sqrt{40^{3}}-\sqrt{13^{3}} \right ]$


Simplificando os radicais, finalmente chegamos a

$L=\dfrac{1}{27}\cdot \left[80\sqrt{10}-13\sqrt{13} \right ]\text{ u.c.}$