Question

É de completar quadrados não sei se a que fiz está certa, completem pra corrigir com a minha caso esteja errada a equação é $x^{2} + 4y^{2} -2x-16y+16=0$

Answer 1

$x^{2}+4y^{2}-2x-16y+16=0\\\\x^{2}-2x+4y^{2}-16y+16=0\\\\(x)^{2}-2\cdot x\cdot 1+4(y^{2}-4y)+16=0$

Veja que falta 1² no primeiro, então vamos adicionar e subtrair 1 da equação:

$(x)^{2}-2\cdot x\cdot 1+1^{2}-1^{2}+4(y^{2}-2\cdot y\cdot 2)+16=0\\\\\\(x-1)^{2}-1+4(y^{2}-2\cdot y\cdot 2)+16=0$

Dentro do parenteses, falta um 2² para completar o quadrado. Farei o mesmo:

$(x-1)^{2}-1+4(y^{2}-2\cdot y\cdot 2+2^{2}-2^{2})+16=0\\\\(x-1)^{2}-1+4((y-2)^{2}-4)+16=0\\\\(x-1)^{2}+4(y-2)^{2}-16+16-1=0\\\\(x-1)^{2}+4(y-2)^{2}-1=0$

Se for para achar a equação reduzida da elipse:

$(x-1)^{2}+4(y-2)^{2}=1\\\\\boxed{\boxed{(x-1)^{2}+\dfrac{(y-2)^{2}}{(\frac{1}{4})}=1}}$

Essa é a equação reduzida de uma elipse de eixo focal horizontal