Question

UM NUMERO INTEIRO TEM 2 ALGARISMOS ESCREVENDO A SUA ESQUERDA O DOBREO DESSE NUMERO OBTEM-SE UM MULTIPLO DE 67. EXPLIQUE PORQUE ISSO ACONTECE

Answer 1

$\bullet\;\;$ Seja $n$ um número inteiro qualquer que tenha apenas dois algarismos, ou seja,

$10 \leq n \leq 99,\;n \in \mathbb{Z}$


$\bullet\;\;$ O dobro deste número é $2n$.


$\bullet\;\;$ Queremos escrever à esquerda do número $n$, o dobro dele mesmo. Como $n$ já possui dois algarismos, temos que multiplicar o dobro de $n$ por 

$10^{2}=100$

e adicionar o resultado a $n$. Chamaremos o número resultante desta operação de $m$. Este número $m$ será o número formado escrevendo-se o dobro de $n$ à esquerda de $n$:

$m=\left(2n\cdot 100 \right )+n\\ \\ m=200n+n\\ \\ m=201n\\ \\ m=67\cdot \left(3n \right )$


Pela última igualdade acima, fica óbvio que $m$ é um múltiplo de $67$, qualquer que seja o número $n$ de dois algarismos.

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Ex.: Tomemos por exemplo o número inteiro de dois algarismos

$n=59$


O dobro deste número é 

$2n=118$


O número $m$ formado será

$m=\left(2n\cdot 100 \right )+n\\ \\ m=\left(118 \cdot 100 \right )+59\\ \\ m=11\,800+59\\ \\ m=11\,859$


Fatorando apropriadamente este número, temos:

$m=11\,859\\ \\ m=59 \cdot 201\\ \\ m=59 \cdot \left(3 \cdot 67 \right )\\ \\ m=\left(59 \cdot 3 \right ) \cdot 67$


Logo, $m=11\,859$ é múltiplo de $67$.