Question

Determinar a equação da reta tangente à curva arctg y + e^(yx+x) + xy = 1 que passa pelo ponto (0,0).

Answer 1

$\arctan y + e^{yx+x}+xy=1$

Derivemos

$\displaystyle \frac{y'}{1+y^2} + (y'x+y+1)e^{xy+x}+y+xy'=0\\ \\ y'\left(\frac{1}{1+y^2}+xe^{xy+x}+x\right)+(y+1)e^{xy+x}+y=0\\ \\ y'\left(\frac{1}{1+y^2}+xe^{xy+x}+x\right)=-(y+1)e^{xy+x}-y\\ \\ \\ y'=-\frac{(y+1)e^{xy+x}+y}{\frac{1}{1+y^2}+xe^{xy+x}+x} \\ \\ \\ \left y'\right|_{(x,y)=(0,0)}=-1$

Entonces la recta tangente es

$x+y=0$