Question

O logaritmo de um número ''a'' na base ''b'' é 3. O logaritmo desse mesmo número numa base igual à metade da anterior é 6. Nessas condições, determine os valores numéricos de ''a'' e ''b''.

Answer 1

O logaritmo de a na base b é 3:

$log_{b}(a)=3~~~~\therefore~~~~b^{3}=a$

O logaritmo de a na base (b / 2) é 6:

$log_{(\frac{b}{2})}(a)=6~~~~\therefore~~~~\left(\dfrac{b}{2}\right)^{6}=a$

Manipulando:

$\dfrac{b^{6}}{2^{6}}=a\\\\\\\dfrac{(b^{3})^{2}}{64}=a$

Como b³ = a:

$\dfrac{a^{2}}{64}=a$

Passando 64 pro outro lado:

$a^{2}=64a\\\\a^{2}-64a=0\\\\a(a-64)=0~\begin{cases}a=0\\a-64=0~~~\therefore ~~~a=64\end{cases}$

Como um logaritmando é um número positivo e diferente de zero, descartamos a = 0

$\boxed{\boxed{a=64}}$

Com isso, achamos b:

$b^{3}=a\\\\b^{3}=64\\\\b^{3}=4^{3}\\\\\boxed{\boxed{b=4}}$

Answer 2

Aplicando critérios e propriedades operatórias logarítmicas

                     $log(b)a=3$          
                                                     $a= b^3$        (1)
                     $log( \frac{b}{2})a=6$
                                                     $a= (\frac{b}{2} )^6$        (2)

         Resolvendo sistema (1) (2)
                             $a=a \\ \\ b^3= (\frac{b}{2})^6 \\ \\ b^3= \frac{b^6}{2^6} \\ \\ 2^6= \frac{b^6}{b^3} \\ \\ 64= b^{6-3} \\ \\ 4^3=b^3$

                             Expoentes iguais, bases iguais
                                                                                 b = 4

                             Em (1)
                                $a=4^3$
                                                                                 a = 64