Question

qual o valor das expressões
a) 20+10+5+....=
b) 90+9+9/10+9/100+....=

Answer 1

Quando o módulo da razão de uma progressão geométrica está entre 0 e 1, podemos calcular a soma infinita dos termos dessa P.G:

$S_{\infty}=\dfrac{a_{1}}{1-q}$
_________________________

a)

A sequência $(20,~10,~5,...)$ é uma progressão geométrica

Achando a razão da P.G:

$q=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$

Como 1/2 está entre 0 e 1, podemos achar a soma infinita:

$20+10+5+...=S_{\infty}=\dfrac{a_{1}}{1-q}\\\\\\20+10+5+...=\dfrac{20}{1-(\frac{1}{2})}\\\\\\20+10+5+...=\dfrac{20}{(\frac{1}{2})}\\\\\\20+10+5+...=20\cdot\dfrac{2}{1}\\\\\\\boxed{\boxed{20+10+5+...=40}}$

b)

A sequência $\left(90,~9,~\dfrac{9}{10},~\dfrac{9}{100},...\right)$ também é uma progressão geométrica

Achando q:

$q=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}$

Que também está entre 0 e 1 (1/10 = 0,1)

Portanto:

$90+9+\dfrac{9}{10}+...=\dfrac{a_{1}}{1-q}\\\\\\90+9+\dfrac{9}{10}+...=\dfrac{90}{1-(\frac{1}{10})}\\\\\\90+9+\dfrac{9}{10}+...=\dfrac{90}{(\frac{9}{10})}\\\\\\90+9+\dfrac{9}{10}+...=90\cdot\dfrac{10}{9}\\\\\\90+9+\dfrac{9}{10}+...=10\cdot10\\\\\\\boxed{\boxed{90+9+\dfrac{9}{10}+...=100}}$

Answer 2

Resposta:

olá flappy aqui está a resolução do exercício

Explicação passo-a-passo:

sn=ai/1-q

sn=20/1-1/2

sn=40

a outra vou ficar te devendo :/

bons estudos!!!