Question

uma dificil: mostre que se 2^x + 2 - 2^-x = 0, então x = log2 (raiz quadrada de2 - 1).

*ali em cima é log na base 2.

Answer 1

Resolvendo a equação exponencial:

$2^{x}+2-2^{-x}=0\\ \\ 2^{x}+2-\dfrac{1}{2^{x}}=0$


Fazendo a seguinte mudança de variável:

$y=2^{x},\;\text{ onde }y>0$

pois $y$ é um exponencial de base $2$, e por isso sempre será positivo.

Substituindo $y$ na equação exponencial, temos:


$y+2-\dfrac{1}{y}=0\\ \\ y+2=\dfrac{1}{y}\\ \\ y\left(y+2 \right )=1\\ \\ y^{2}+2y=1\\ \\ y^{2}+2y-1=0\;\Rightarrow\;\;a=1,\;b=2,\;c=-1\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=2^{2}-4\cdot 1 \cdot \left(-1 \right )\\ \\ \Delta=4+4\\ \\ \Delta=8=2^{2}\cdot 2\\ \\ \\ y=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ y=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^{2}\cdot 2}}{2\cdot 1}\\ \\ y=\dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$


$y=\dfrac{\diagup\!\!\!\!2 \cdot \left(-1\pm \sqrt{2} \right )}{\diagup\!\!\!\! 2}\\ \\ y=-1\pm \sqrt{2}\\ \\ \begin{array}{rcl} y=-1+\sqrt{2}&\text{ ou }&y=-1-\sqrt{2}\text{ (n\~{a}o serve, pois }y>0\text{)} \end{array}$


Logo, encontramos

$y=-1+\sqrt{2}$


Substituindo de volta para a variável original $x$, temos

$2^{x}=-1+\sqrt{2}\\ \\ x=\mathrm{\ell og_{2}}\left(-1+\sqrt{2} \right )\text{, ou seja,}\\ \\ \\ \boxed{ \begin{array}{c} x=\mathrm{\ell og_{2}}\left(\sqrt{2}-1 \right ) \end{array}}$