Question

Obtenha a posição do ponto de interseção das retas 3x-y+2=0 e 2x+3y-1=0  em relação à circunferência x²+y²+4x+2y=0.

Answer 1

Primeiro vamos determinar as coordenadas do ponto de intersecção das retas:

(a)   3x-y+2=0
(b)   2x+3y-1=0 

Multiplicando (a) por 3

(a)   9x-3y+6=0 
(b)   2x+3y-1=0 

Adicionando as equações:

(a) + (b) 

11x + 5 = 0
x=-5/11

Substituindo x = -5/11 em (a):

3x-y+2=0 
3.(-5/11)-y+2=0
-15/11-y+2=0
y=-15/11+2
y=7/11

Logo as coordenadas do ponto de intersecção são (-5/11; 7/11)

Vamos encontrar as coordenadas do centro da circunferência, reduzindo a equação dada:

x²+y²+4x+2y=0

x²+4x+4+y²+2y+1=5

(x+2)² + (y+1)²=5

Logo o centro da circunferência é o ponto C(-2,-1) e raio √5

Vamos agora calcular a distância d entre o ponto de intersecção das retas e o centro da circunferência.

Teremos 3 possibilidades

se d  >  √5  ----> o ponto é externo à circunferência
se d  =  √5  ----> o ponto pertence à circunferência
se d  >  √5  ----> o ponto é interno à circunferência

$d_{PC}=\sqrt{(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2} \\ \\ d_{PC}=\sqrt{[-\frac{5}{11}-(-2)]^2+[\frac{7}{11}-(-1]^2} \\ \\ d_{PC}=\sqrt{\frac{613}{121}}$

Vamos ver se $\frac{613}{121}$ é maior ou menor do que 5

613 ÷ 121 ≈ 5,06
 

Logo d > r e o ponto de intersecção das retas é externo à circunferência