Question

Prove a desigualdade quando a>0,b>0 e determine quando ocorre a igualdade
$(a + \frac{2}{b})(b + \frac{8}{a}) \geqslant 18$
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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

ab + 8a/a + 2b/b + 16/ab

ab + 8 + 2 + 16/ab = ab + 16/ab + 10

10 + a^2b^2 + 16/ab

10 + ab + 16 > 18

ab + 26 > 18

ab > - 8

olha tentei mas acho q n é isso não, tem alternativa?

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Para provar isso, precisamos saber que qualquer número ao quadrado é sempre maior que ou igual a zero.

$(a+\frac{2}{b})(b+\frac{8}{a})\geq 18\\\\(\frac{ab+2}{b})(\frac{ab+8}{a})\geq 18\\\\\frac{a^2b^2+2ab+8ab+16}{ab}\geq 18\\\\a^2b^2+10ab+16\geq 18ab\\\\a^2b^2+10ab-18ab+16\geq 0\\\\a^2b^2-8ab+16\geq 0\\\\(ab)^2+2(ab)(-4)+(-4)^2\geq 0\\\\(ab-4)^2\geq 0$

Essa última expressão é sempre verdadeira.

A igualdade ocorre quando:

$(ab-4)^2=0\\\\ab-4=0\\\\ab=4$