Question

Vamos supor que possamos continuar a operar com os números complexos como se opera com os números reais, respeitando-se apenas a novidade que decorre do fatos de termos i²= -1Determine as soluções para as situações a seguir

a) i⁷
b) i⁵+ i⁸
c) i⁴+ i⁹ - i⁶
d) (-1 + i)³

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Lembre-se da tabela:

i^0 = 1  ( ^ significa elevado) Nem sempre tenho recursos para todos valores.

i¹ = i

1² = -1

1³ = - i

A partir desta tabela, qualquer outro expoente deverá ser dividido por 4 e pegamos sempre o resto da divisão que será 0, 1 , 2 ou 3 e o colocamos como nova potência do i, daí usamos a tavela.

a) i⁷

7/4 = Quociente 1, resto 3

i⁷ = i³ = -1

b) i⁵+ i⁸

5/4 = Q 1 e resto 1 e 8/4 = Q 2 e resto 0

i⁵+ i⁸ = i¹ + i^0 = i + 1 = 1 + i

c) i⁴+ i⁹ - i⁶

4/4 = Q 1 e resto 0 e 9/4 = Q 2 e resto 1 e 6/4 = Q 1 e resto 2

i⁴+ i⁹ - i⁶ = i^0 + i¹ - i² = 1 + i - (-1) = 1 + i + 1 = 2 + i

d) (-1 + i)³ = vamos fazer as multiplicações ou usar o produto notável

(-1+i).(-1+i).(-1+i) =

i³ - 3i² + 3i - 1 = substituindo pelos valores da tabela:

-i - 3.(-1) + 3i - 1 =

- i + 3 + 3i - 1 =

2 - 2i

Answer 2

Utilizando fatoração de potências complexas, temos que nossos resultados foram:

a) - i

b) 1 + i

c) 2 + i

d) 1 + i

Explicação passo-a-passo:

A melhor forma de resolver estas questões é separar estas potências em multiplicações e a cada vez que tivermos um par de 'i' multiplicados, estes formam um i², e portanto podemos substituir estes por -1 e terminarmos a conta:

a) i⁷

Separando em multiplicação:

i⁷ = i . i . i . i . i . i . i

Fazendo pares:

i⁷ = ( i . i ) . ( i . i ) . ( i . i ) . i

Substituind os pares por -1, pois eles são i²:

i⁷ = ( -1 ) . ( -1 ) . ( -1 ) . i

Os dois primos -1 multiplicados se anulam, pois negativo com negativo é positivo, então:

i⁷ = ( -1 ) . i

i⁷ = - i

b) i⁵ + i⁸

Da mesma forma vamos reescrever estes dois, porém um pouco mais sucinto, para não tomarmos muito tempo:

i⁵ = ( i . i ) . ( i . i ) . i = ( - 1 ) . ( - 1 ) . i = i

i⁸ = ( i . i ) . ( i . i ) . ( i . i ) . ( i . i ) . ( i . i ) . ( i . i ) . ( i . i ) . ( i . i ) = (-1) (-1) (-1) (-1) = 1

Então substituindo temos:

i⁵ + i⁸ = i + 1

c) i⁴ + i⁹ - i⁶

Da mesma forma, porém agora vou utilizar os resultados da questão anterior para facilitar, pois i⁹ é o mesmo que i⁸ . i e i⁶ é o mesmo que i⁵ . i, então:

i⁴ = ( i . i ) . ( i . i ) = ( - 1 ) . ( - 1 ) = 1

i⁹ = i⁸ . i  = 1 . i = i

i⁶ = i⁵ . i = i . i = i² = -1

Agora somando todos estes:

i⁴ + i⁹ - i⁶ = 1 + i - ( - 1) = 2 + i

d) ( - 1 + i )³

Primeiramente podemos aplicar propriedade distributiva de multiplicação e abrir todos estes termos:

(-1)³ + 3 . (-1)² . i + 3 . (-1) . i² + i³

Que simplificando fica:

-1 + 2i - 2i² + i³

E substituindo os seguintes valores:

i² = -1

i³ = i² . i = - 1 . i = -i

Ficamos com:

-1 + 2i - 2i² + i³

-1 + 2i - 2 . ( - 1 ) - i

-1 + i + 2

1 + i

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