Question

Calcule a integral da linha

Answer 1

Como informado no enunciado sabemos que

$\displaystyle \int_C f(x,y,z) \, ds =\int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2+z'(t)^2}\,dt$

No caso a função que queremos integrar é f(x,y,z) = x²+y²-z. Como temos

$\begin{cases} x(t) = \cos t \\ y(t) = \sin t \\ z(t) = t\end{cases} \implies\begin{cases} x'(t) = -\sin t \\ y'(t) = \cos t \\ z'(t) = 1\end{cases}$

Então vale que

$f(x(t),y(t),z(t)) = (\cos t)^2 +(\sin t)^2 - t = 1-t$

E também

$\sqrt{ x'(t)^2 + y'(t)^2 +z'(t)^2}= \sqrt{(-\sin t)^2 + ( \cos t)^2 + 1^2} = \sqrt 2$

Assim, basta substituir os valores para encontrar a resposta

$\displaystyle \int_C f(x,y,z)\, ds = \int_0^{2\pi} (1-t) \sqrt 2 \, dt = \sqrt 2 \left(t - \dfrac{ t^2}{2} \right)\Bigg|_{t = 0} ^{t=2\pi} = 2 \sqrt 2(1-\pi)$

Resposta:

$\boxed{\displaystyle \int_C f(x,y,z)\, ds= 2 \sqrt 2(1-\pi)}$