Question

determine o valor de k para que a divisão do polinomial P(x)=-3x³+x²+kx+1 por x-2 seja 75​

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Para resolver essa questão, vamos lembrar primeiro do teorema do resto.

O Teorema do resto fala que:

• "O resto da divisão de P(x) por x - a é igual a P(a)

Nos é fornecido esse polinômio:

$\boxed{P(x) = - 3x {}^{3} + x {}^{2} + kx + 1}$

A questão fala que a divisão desse polinômio por x - 2 tem que resultar em 75, mas note a definição do Teorema do resto fala que um polinômio P(x) dividido por x - a é o mesmo que P(a). Observe que o dividendo (x - 2) è justamente x - a. Com isso em mente iguale o dividendo "x - 2" a "0". (Não é necessário igualar a 0, mas é sempre bom para não substituirmos errado".

$x - 2 = 0 \\ \boxed{x = 2}$

Esse será o valor do "a".

Outra forma de saber o número que devemos substituir é através de análise.

$(x - a )\rightarrow (x - (+2)$

O "a" é igual a 2.

Agora substitua esse valor no local de "x" no polinômio P(a):

$P(a) = - 3x {}^{3} + x {}^{2} + kx + 1 \\ P(2) = - 3.(2) {}^{3} + (2) {}^{2} + k.2 + 1 \\ P(2) = - 3.8 + 4 + 2k + 1 \\ P(2) = - 24 + 4 + 2k + 1 \\ P(2) = 2k - 19$

Por fim iguale a "75":

$2k - 19 = 75 \\ 2k = 75 + 19 \\ 2k = 94 \\ k = \frac{94}{2} \\ \boxed{k = 47}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️