Determine a equação da reta de 135 graus de inclinação e que passa pelo ponto A (1,-4)

Respostas

respondido por: solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação da reta em sua forma reduzida é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: y = -x - 3\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} A(1, -4)\\\theta = 135^{\circ}\end{cases}$

Para montarmos a equação da reta devemos utilizar a forma fundamental da reta, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{A} = m_{r}\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$}$

Se:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{r} = \tan\theta\end{gathered}$}$

Então, podemos reescrever a equação "I", como sendo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{A} = \tan\theta\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$}$

Desta forma temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{A} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - (-4) = \frac{\sin135^{\circ}}{\cos135^{\circ}}\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y + 4 = \frac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{-\sqrt{2}}{2}}\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y + 4 = \frac{\sqrt{2}}{\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot\bigg(-\frac{\!\diagup\!\!\!\!2}{\sqrt{2}}\bigg)\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y + 4 = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y + 4 = -1\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y + 4 = -x + 1\end{gathered}$}$

Chegando neste ponto devemos saber qual deve ser a forma final da equação. Como não foi enfatizado a forma final, vou deixar a equação em sua forma reduzida. Para isso, devemos isolar a incógnita "y" no primeiro membro, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -x + 1 - 4\end{gathered}$}$