Question

O polinômio x³ - 21x² + 138x - 280 foi criado a partir dos três primeiros termos de uma progressão aritmética

O primeiro termo dessa progressão é 4 Qual é o 25° termo dessa progressão? ​

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Temos o seguinte polinômio:

$\large\red{\boxed{x {}^{3} - 21x {}^{2} + 138x - 280}}$

A questão nos fornece que o primeiro termo dessa PA é "4", mas a questão também diz que o polinômio é formado pelos termos da PA, ou seja, uma das raízes desse polinômio é "4". Sabendo disso vamos usar esse valor para calcular as outras duas raízes através do dispositivo Briot-ruffini.

Aplicando:

$\begin{array}{r|c}4&1& - 21&138& - 280 \\ & \underbrace{(1)}_{grau \: 2}& \underbrace{( - 17)}_{grau \: 1}& \underbrace{(70)}_{grau \: 0}& \underbrace{(0)}_{resto} \\ \\ &x {}^{2} & - 17x& + 70&&\end{array} \\ \\ \sf{contas} : \\ 1.4 = 4 - 21 = - 17 \\ ( - 17).4 = 138 - 68 = 70 \\ 70.4 = 280 - 280 = 0$

Resolvendo a equação do segundo grau:

$\Large\boxed{x {}^{2} - 17x + 70 = 0} \\ \\ \sf{\bf{i)coeficientes:}} \\ a = 1 \\ b = - 17 \\ c = 70 \\ \\ \sf{\bf{ii)Discriminante:}} \\ \Delta = b {}^{2} - 4.a.c \\ \Delta = ( - 17) {}^{2} - 4.1.70 \\ \Delta = 289 - 280 \\ \Delta = 9 \\ \\ \sf{\bf{iii)Bh\acute{a}skara}}\\ x = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2.a} \\ \\ x = \frac{ - ( - 17) \pm \sqrt{9} }{2.1} \\ \\ x = \frac{17 \pm 3}{2} \longrightarrow \begin{cases}x_1= \frac{17 + 3}{2} \\ x_1 = \frac{20}{2} \\ x _1 = 10 \\ \\ x_2 = \frac{17 - 3}{2} \\ x _2 = \frac{14}{2} \\ x_2 = 7\end{cases}$

Temos então que a Progressão Aritmética é dada por:

$\boxed{ \large PA(4,7,10.....)}$

Tendo conhecimento da progressão, vamos calcular a razão e depois o vigésimo quinto termo (a25).

Razão:

Para calcular a razão de uma PA devemos subtrair um termo qualquer pelo seu antecessor imediato

$r = a2 - a1 \\ r = a3 - a2 \\ r = a4 - a3 \\ \vdots \\ \infty$

Usando a primeira fórmula:

$r = a2 - a1 \\ r = 7 - 4 \\ \boxed{ r = 3}$

Substituindo no termo geral da PA:

$\red{\boxed{An = a1 + (n - 1).r}} \\ A_{25} = 4 + (25 - 1).3 \\ A _ {25} = 4 + 24.3 \\ A_{25} = 4 + 72 \\ \boxed{A_{25} = 76 }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

Resposta:

76

Explicação passo-a-passo:

Conforme afirma no texto da questão, essa espressão polinominal tem suas raizes em PA. Logo podemos escrevê-las dessa forma.

x-r, x, x+r

x-r+x+x+r = 21/1

x-r+x+x+r = 21

3x = 21

x = 7

Agora podemos escrever que :

x-r, x, x+r corresponde a isto 7-r, 7, 7+r.

(7-r).(7).(7+r) = 280, divide tudo por 7.

(7-r)(7+r) = 40

49 - r² = 40

-r² = 40 - 49

r² = 9

r = 3.

Logo as raizes dessa equação, que estão em PA, são 7-3, 7, 7+3, que é igual a 4,7, 10.

a1 = 4

a25 = a1 + 24r

a25 = 4 + 24.3

a25 = 4+ 72

a25 = 76