Question

Numa função t(x)=a(x-P)+q sabe- se que a<0.
Determine:
a) A equacao do eixo de simetria se V(-1;-3)
b)O contradomínio de t se V(5;4)
c)A monotonia da função se V(-8;12)
Por favor ajudem-me​

Answer 1

Seja uma função genérica do tipo $\mathsf{f(x)=a(x-m)^2+k.}$ Temos:

• O eixo de simetria é dado pela equação $\mathsf{x=m}$

• O vértice é o ponto $\mathsf{V(m,k)}$

• Se $\mathsf{a<0,}$ então a função possui um valor máximo igual a k e o conjunto imagem da função é dado por $\mathsf{Im(f)=\{y\in \mathbb{R}: y \leq k\}}$

Com essas intimações podemos responder aos três itens desta questão.

a) Se $\mathsf{V(-1, -3)}$ então a função fica

$\mathsf{t(x)=a(x+1)^2-3}$ e a equação do eixo de simetria é $\fbox{\mathsf{x=-1}}$

b) Se $\mathsf{V(5, 4),}$ a função se torna $\mathsf{t(x)=a(x-5)^2+4.}$ Como $\mathsf{a<0,}$ a função possui valor máximo igual a 4 e o conjunto imagem é o seguinte:

$\fbox{\mathsf{Im(f)=\{y\in\mathbb{R}:y \leq 4\}}}$

$\dotfill$

Obs.: Lembre-se de que uma função é uma regra que associa cada elemento de um conjunto A, chamado domínio, a um único elemento de um conjunto B, denominado contradomínio. Pode existir elementos no contradomínio que não tenham correspondente em A. Porém, há um subconjunto do contradomínio chamado conjunto imagem, representado por Im(f), em que para todo $\mathsf{y\in Im(f),}$ existe algum elemento correspondente no domínio. Note que não é possível determinar o contradomínio de uma função. Por isso, acredito que o item (b) pede o conjunto imagem. A certeza que se tem é que o contradomínio contém o conjunto imagem.

$\dotfill$

c) Se $\mathsf{V(-8,12),}$ a função fica $\mathsf{t(x)=a(x+8)^2+12.}$

A função possui valor máximo igual a 12 e será:

• Crescente no intervalo $\mathsf{[-\infty, 12]}$

• Decrescente no intervalo $\mathsf{[12,+\infty]}$