Três candidatos A, B e C concorrem à presidência de um clube. Uma pesquisa apontou que, dos sócios entrevistados, 150 não pretendem votar. Dentre os entrevistados que estão dispostos a participar da eleição, 40 sócios votariam apenas no candidato A, 70 votariam apenas em B, e 100 votariam apenas no candidato C. Além disso, 190 disseram que não votariam em A, 110 disseram que não votariam em C, e 10 sócios estão na dúvida e podem votar tanto em A como em C, mas não em B. Finalmente, a pesquisa revelou que 10 entrevistados votariam em qualquer candidato. Com base nesses dados, pergunta-se:
a) Quantos sócios entrevistados estão em dúvida entre votar em B ou em C, mas não votariam em A? Dentre os sócios consultados que pretendem participar da eleição, quantos não votariam em B?
b) Quantos sócios participaram da pesquisa? Suponha que a pesquisa represente fielmente as intenções de voto de todos os sócios do clube. Escolhendo um sócio ao acaso, qual a probabilidade de que ele vá participar da eleição mas ainda não tenha se decidido por um único candidato?
Respostas
Resposta:
\hookrightarrow↪ Observe as imagens anexadas.
\rightsquigarrow⇝ A parte mais essencial, e talvez a mais difícil deste exercício, é montar o digrama de Venn, vamos começar organizando os dados do problema:
\bullet∙ 150 \longmapsto⟼ não irão votar.
\bullet∙ 40 \longmapsto⟼ votariam apenas no candidato A.
\bullet∙ 70 \longmapsto⟼ votariam apenas em B.
\bullet∙ 100 \longmapsto⟼ votariam apenas no candidato C.
\bullet∙ Com essas informações já podemos começar a fazer o diagrama, como está dizendo que eles votariam apenas nesses candidatos, podemos colocar esses números parte que corresponde a apenas um candidato, representado na imagem 1 , pelas cores Azul (canditato A), Vermelho (candidato B) e Amarelo (candidato C).
\bullet∙ 190 disseram que não votariam em A, ou seja, podem votar em B ou em C.
\bullet∙ 110 disseram que não votariam em C, ou seja, podem votar em B ou em A.
\bullet∙ 10 sócios estão na dúvida e podem votar tanto em A como em C.
\circ∘ Observe que se os 190 não voltariam em A, eles só poderão voltar ou em B ou em C ou ainda estão na dúvida e fazem parte da intersecção de B com C, nós já temos quantas pessoas votariam apenas em B e apenas em C, então para descobrir quanto vale a intersecção de B com C, basta fazer a subtração de 190, do número de pessoas que voltariam apenas em B e em C :
190-(B)-(C)\rightarrow→ 190-70-100= 20
\bullet∙ 20 \rightarrow→ B∩C. (Em rosa na imagem).
\circ∘ Agora seguindo a mesma lógica, fica mais fácil, se 110 pessoas não voltariam em C, elas podem ou votar apenas em A ou apenas em B, ou então ainda estão na dúvida e fazem parte da intersecção B com A, e para descobrir B∩A, basta subtrair de 110 o número de pessoas que votarão apenas em B e apenas em A.
110-(B)-(A)\rightarrow→ 110-70-40= 0
\bullet∙ 0 \rightarrow→ B∩A. (Em roxo na imagem 2).
\circ∘ E A∩C, o próprio exercício forneceu como sendo 10.
\bullet∙ 10 \rightarrow→ A∩C. (Em laranja na imagem 2).
\circ∘ A∩B∩C, o exercício forneceu também como sendo 10.
\bullet∙ 10 \rightarrow→ A∩B∩C. (Em verde na imagem 2)
\hookrightarrow↪ Agora que o diagrama está pronto, vamos ao item a:
A) \bullet∙ 1ª pergunta \hookrightarrow↪ Quantos sócios entrevistados estão em dúvida entre votar em B ou em C, mas não votariam em A?
\circ∘ Isso é representado pela intersecção de B com C, ou seja:
\bullet∙ 2ª pergunta \hookrightarrow↪ Dentre os sócios consultados que pretendem participar da eleição, quantos não votariam em B?
\circ∘ Os que não votariam em B, são os que voltariam apenas A em, apenas em C e estão na duvida entre A e C:
\circ∘ Não voltariam em B= (A)+(C)+ A∩C \hookrightarrow↪ = 40+100+10= 150
B) \bullet∙ 1ª pergunta \hookrightarrow↪ Quantos sócios participaram da pesquisa?
\circ∘ É só somar todos os números do diagrama, mais os 150 que não pretendem votar:
\circ∘ 40+0+10+10+20+70+100+150= 400
\bullet∙ 2ª pergunta \hookrightarrow↪ Escolhendo um sócio ao acaso, qual a probabilidade de que ele vá participar da eleição mas ainda não tenha se decidido por um único candidato?
Temos que:
P= \dfrac{40}{400}P=
400
40
\bullet∙ Lembrando que esse 40 corresponde a soma das intersecções, ou seja, A∩B+A∩C+B∩C+A∩B∩C, pois as intersecções que representam quem irá votar, mas está em dúvida entre dois ou mais candidatos.
\boxed{\boxed{\bold{P= 0,1 \ ou \ 10\%}}}
P=0,1 ou 10%
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
hookrightarrow↪ Observe as imagens anexadas. ightsquigarrow⇝ A parte mais essencial, e talvez a mais difícil deste exercício, é montar o digrama de Venn, vamos começar organizando os dados do problema:
bullet∙ 150 \longmapsto⟼ não irão votar.
\bullet∙ 40 \longapsto⟼ votariam apenas no candidato A.
\bullet∙ 70 \longmapsto⟼ votariam apenas em B.
\bullet∙ 100 \longmapsto⟼ votariam apenas no candidato C.
\bullet∙ Com essas informações já podemos começar a fazer o diagrama, como está dizendo que eles votariam apenas nesses candidatos, podemos colocar esses números parte que corresponde a apenas um candidato, representado na imagem 1 , pelas cores Azul (canditato A), Vermelho (candidato B) e Amarelo (candidato C).
\bullet∙ 190 disseram que não votariam em A, ou seja, podem votar em B ou em C.
\bullet∙ 110 disseram que não votariam em C, ou seja, podem votar em B ou em A.
\bullet∙ 10 sócios estão na dúvida e podem votar tanto em A como em C.
\circ∘ Observe que se os 190 não voltariam em A, eles só poderão voltar ou em B ou em C ou ainda estão na dúvida e fazem parte da intersecção de B com C, nós já temos quantas pessoas votariam apenas em B e apenas em C, então para descobrir quanto vale a intersecção de B com C, basta fazer a subtração de 190, do número de pessoas que voltariam apenas em B e em C :
190-(B)-(C)\rightarrow→ 190-70-100= 20
\bullet∙ 20 \rightarrow→ B∩C. (Em rosa na imagem).
\circ∘ Agora seguindo a mesma lógica, fica mais fácil, se 110 pessoas não voltariam em C, elas podem ou votar apenas em A ou apenas em B, ou então ainda estão na dúvida e fazem parte da intersecção B com A, e para descobrir B∩A, basta subtrair de 110 o número de pessoas que votarão apenas em B e apenas em A.
110-(B)-(A)\rightarrow→ 110-70-40= 0
\bullet∙ 0 \rightarrow→ B∩A. (Em roxo na imagem 2).
\circ∘ E A∩C, o próprio exercício forneceu como sendo 10.
\bullet∙ 10 \rightarrow→ A∩C. (Em laranja na imagem 2).
\circ∘ A∩B∩C, o exercício forneceu também como sendo 10.
\bullet∙ 10 \rightarrow→ A∩B∩C. (Em verde na imagem 2)
\hookrightarrow↪ Agora que o diagrama está pronto, vamos ao item a:
A) \bullet∙ 1ª pergunta \hookrightarrow↪ Quantos sócios entrevistados estão em dúvida entre votar em B ou em C, mas não votariam em A?
\circ∘ Isso é representado pela intersecção de B com C, ou seja:
\bullet∙ 2ª pergunta \hookrightarrow↪ Dentre os sócios consultados que pretendem participar da eleição, quantos não votariam em B?
\circ∘ Os que não votariam em B, são os que voltariam apenas A em, apenas em C e estão na duvida entre A e C:
\circ∘ Não voltariam em B= (A)+(C)+ A∩C \hookrightarrow↪ = 40+100+10= 150
B) \bullet∙ 1ª pergunta \hookrightarrow↪ Quantos sócios participaram da pesquisa?
\circ∘ É só somar todos os números do diagrama, mais os 150 que não pretendem votar:
\circ∘ 40+0+10+10+20+70+100+150= 400
\bullet∙ 2ª pergunta \hookrightarrow↪ Escolhendo um sócio ao acaso, qual a probabilidade de que ele vá participar da eleição mas ainda não tenha se decidido por um único candidato?
Temos que:
P= \dfrac{40}{400}P=
400
40
\bullet∙ Lembrando que esse 40 corresponde a soma das intersecções, ou seja, A∩B+A∩C+B∩C+A∩B∩C, pois as intersecções que representam quem irá votar, mas está em dúvida entre dois ou mais candidatos.
\boxed{\boxed{\bold{P= 0,1 \ ou \ 10\%}}}
P=0,1 ou 10%