Question

4) Dado o triângulo de vértices A (0, -1) , B (-5, -5) e C (-3, 1), determine:
a) O comprimento da mediana CM;
b) As coordenadas do baricentro;

Answer 1

Vamos usar as seguintes informações para resolver essa questão:

Sejam $\mathsf{A(x_A,y_A)}$ e $\mathsf{B(x_B,y_B),}$ dois pontos quaisquer, então a distância $\mathsf{d_{AB}}$ entre eles é dada por:

$\fbox{\mathsf{d_{AB}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}}$

em que:

$\mathsf{(\Delta x)^2=( x_A-x_B)^2=(x_B-x_A)^2}$

e

$\mathsf{(\Delta y)^2=( y_A-y_B)^2=(y_B-y_A)^2}$

Além disso, o ponto médio M de A e B é dado por:

$\fbox{\mathsf{M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2} \right)}}$

Sejam $\mathsf{A(x_A,y_A),\;B(x_B,y_B)}$ e $\mathsf{C(x_C,y_C),}$ os vértices de um triângulo. Então, as cordenadas do baricentro G, ponto de encontro das medianas, são dadas por:

$\fbox{\mathsf{G\left(\dfrac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3},\dfrac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)}}$

Agora podemos responder aos dois itens dessa questão:

É dado um triângulo de vértices A(0, -1), B(-5,-5) e C(-3, 1), pede-se:

a) O comprimento da mediana CM, ou seja, a medida do segmento de reta que contém o vértice C e ponto médio M do lado AB. Dessa forma, vamos determinar, primeiro, o ponto médio dos pontos A e B usando a fórmula dada:

$\mathsf{M\left(\dfrac{0+(-5)}{2},\dfrac{-1+(-5)}{2}\right)}=\\=\mathsf{M\left(\dfrac{-5}{2},\dfrac{-6}{2} \right)}=\\=\mathsf{M(2{,}5; 3)}$

Agora vamos calcular a distância entre os pontos C e M, que é igual ao comprimento da mediana CM.

$\mathsf{d_{CM}=(\sqrt{(-3-2{,}5)^2+(1-3)^2}}\implies\\\implies\mathsf{d_{CM}=\sqrt{(-5{,}5)^2+(-2)^2}}\implies\\\implies\mathsf{d_{CM}=\sqrt{30{,}25+4}}\implies\\\implies\mathsf{d_{CM}=\sqrt{34{,}25}}\implies\\\implies\mathsf{d_{CM}=\sqrt{\dfrac{137}{4}}}\implies\\\implies\fbox{\mathsf{d_{CM}=\dfrac{\sqrt{137}}{2}}}$

Logo, o comprimento da mediana do CM é $\mathsf{\dfrac{\sqrt{137}}{2}}$

b) As coordenadas do baricentro do triângulo ABC. Usando a fórmula dada, temos:

$\mathsf{G\left(\dfrac{0+(-5)+(-3)}{3},\dfrac{-1+(-5)+1}{3}\right)}=\\\mathsf{G\left(\dfrac{-5-3}{3},\dfrac{-1-5+1}{3}\right)}=\\=\fbox{\mathsf{G\left(\dfrac{-8}{3},\dfrac{-5}{3}\right)}}$

Portanto, as coordenadas do baricentro do triângulo ABC é $\mathsf{G\left(\dfrac{-8}{3},\dfrac{-5}{3}\right).}$