Question

Qual a derivada parcial de z=x/y^2 sendo x= u+v-1 e y = u-v-1 ?

Answer 1

Aqui, você pode fazer a derivada em x e y e depois substitui-las ou substituir antes e depois derivar.

$z=\frac{x}{y^2}$

Derivada parcial em relação a x:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{y^2}$

Logo:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{(u-v-1)^2}$

Derivada parcial em relação a y:

$z={x}{y^{-2}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-2xy^{-3}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2x}{y^{3}}$

Logo:

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2(u+v-1)}{(u-v-1)^{3}}$

Você também pode substituir antes de fazer a conta, como havia mencionado:

$z=\frac{x}{y^2}$

$z=\frac{u+v-1}{(u-v-1)^2}$

Derivada parcial em relação a u:

$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1(u-v-1)^2-[(u+v-1)2(u-v-1)1]}{[(u-v-1)^2]^2}$

$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{(u-v-1)^2-[2(u+v-1)(u-v-1)]}{[(u-v-1)^2]^2}$

$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{(u-v-1)[(u-v-1)-2(u+v-1)]}{[(u-v-1)^2]^2}$

$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{(u-v-1)-2(u+v-1)}{(u-v-1)^3}$

$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{u-v-1-2u-2v+2}{(u-v-1)^3}$

$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{-u-3v+1}{(u-v-1)^3}$

Derivada parcial em relação a v:

$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{1(u-v-1)^2-[(u+v-1)2(u-v-1)(-1)]}{[(u-v-1)^2]^2}$

$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{(u-v-1)^2-[-2(u+v-1)(u-v-1)]}{[(u-v-1)^2]^2}$

$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{(u-v-1)[(u-v-1)+2(u+v-1)]}{[(u-v-1)^2]^2}$

$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{(u-v-1)+2(u+v-1)}{(u-v-1)^3}$

$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{u-v-1+2u+2v-2}{(u-v-1)^3}$

$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{3u+v-3}{(u-v-1)^3}$