Na figura estão representadas três partículas com cargas idênticas tais que q1tais que q1 = – 1 μC (– 1,0 · 10–6 C) e q2 = q3 = 1 μC (1,0 · 10–6 C), ocupando os vértices de um triângulo equilátero ABC de 3 cm de lado. Determine a intensidade, direção e sentido da força resultante elétrica que atua sobre a carga situada no vértice A. Considere K = 9.109N.m2/C2.
a) 10 N, direção horizontal e sentido para esquerda.
b) 10 N, direção vertical e sentido para direita.
c) 30 N, direção vertical e sentido para esquerda.
d) 30 N, direção horizontal e sentido para baixo.
e) 60 N, direção vertical e sentido para cima.
Respostas
Resposta:
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_______________
Observe a figura em anexo.
• força de \mathsf{Q_1}Q
1
sobre \mathsf{Q_2}:Q
2
: \overrightarrow{\mathsf{F_{12}}};
F
12
;
• força de \mathsf{Q_3}Q
3
sobre \mathsf{Q_2}:Q
2
: \overrightarrow{\mathsf{F_{32}}};
F
32
;
• constante eletrostática no vácuo: \mathsf{k=9\cdot 10^9~N\cdot m^2/C^2;}k=9⋅10
9
N⋅m
2
/C
2
;
Como as três cargas são pontuais e idênticas, as forças eletrostáticas são de afastamento (cargas de mesmo sinal se repelem).
__________
(1)
• Calculando a magnitude de \overrightarrow{\mathsf{F_{12}}}:
F
12
:
\begin{lgathered}\mathsf{F_{12}=k\cdot \dfrac{|Q_1|\cdot |Q_2|}{a^2}}\\\\\\ \mathsf{F_{12}=k\cdot \dfrac{|Q|\cdot |Q|}{a^2}}\\\\\\ \mathsf{F_{12}=k\cdot \dfrac{|Q|^2}{a^2}}\\\\\\ \mathsf{F_{12}=k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2}}\qquad\quad\checkmark\end{lgathered}
F
12
=k⋅
a
2
∣Q
1
∣⋅∣Q
2
∣
F
12
=k⋅
a
2
∣Q∣⋅∣Q∣
F
12
=k⋅
a
2
∣Q∣
2
F
12
=k⋅
a
2
Q
2
✓
• Calculando a magnitude de \overrightarrow{\mathsf{F_{32}}}:
F
32
:
De forma análoga,
\begin{lgathered}\mathsf{F_{32}=k\cdot \dfrac{|Q_3|\cdot |Q_2|}{a^2}}\\\\\\ \mathsf{F_{12}=k\cdot \dfrac{|Q|\cdot |Q|}{a^2}}\\\\\\ \mathsf{F_{32}=k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2}}\qquad\quad\checkmark\end{lgathered}
F
32
=k⋅
a
2
∣Q
3
∣⋅∣Q
2
∣
F
12
=k⋅
a
2
∣Q∣⋅∣Q∣
F
32
=k⋅
a
2
Q
2
✓
• Calculando a magnitude da força elétrica resultante sobre \mathsf{Q_2}:Q
2
:
Usa-se a Lei dos Cossenos:
(o ângulo entre os vetores \overrightarrow{\mathsf{F_{12}}}
F
12
e \overrightarrow{\mathsf{F_{32}}}
F
32
é de \mathsf{60^\circ}60
∘
)
\begin{lgathered}\mathsf{F_R^2=F_{12}^2+F_{32}^2+2\cdot F_{12}\cdot F_{32}\cdot cos\,60^\circ}\\\\\\ \mathsf{F_R^2=\left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )^{\!\!2}+\left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )^{\!\!2}+\diagup\!\!\!\! 2\cdot \left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )\cdot \left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2}}\\\\\\ \mathsf{F_R^2=\left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )^{\!\!2}+\left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )^{\!\!2}+\left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2} \right )^{\!\!2}}\\\\\\ \mathsf{F_R^2=3\cdot \left(k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2}\right)^{\!\!2}}\end{lgathered}
F
R
2
=F
12
2
+F
32
2
+2⋅F
12
⋅F
32
⋅cos60
∘
F
R
2
=(k⋅
a
2
Q
2
)
2
+(k⋅
a
2
Q
2
)
2
+╱2⋅(k⋅
a
2
Q
2
)⋅(k⋅
a
2
Q
2
)⋅
╱2
1
F
R
2
=(k⋅
a
2
Q
2
)
2
+(k⋅
a
2
Q
2
)
2
+(k⋅
a
2
Q
2
)
2
F
R
2
=3⋅(k⋅
a
2
Q
2
)
2
A direção e o sentido da força resultante estão indicadas no anexo. Pode ser facilmente obtida pela regra do paralelogramo.
__________
(2)
Para
\mathsf{Q=1,\!6\cdot 10^{-19}~C;}Q=1,6⋅10
−19
C;
\mathsf{a=0,\!02~\mu m=0,\!02\cdot 10^{-6}~m.}a=0,02 μm=0,02⋅10
−6
m.
O módulo da resultante no exercício (1) é
\begin{lgathered}\mathsf{F_R=k\cdot \dfrac{Q^2}{a^2}\cdot \sqrt{3}}\\\\\\ \mathsf{F_R=9\cdot 10^9\cdot \dfrac{(1,\!6\cdot 10^{-19})^2}{(0,\!02\cdot 10^{-6})^2}\cdot \sqrt{3}}\\\\\\ \mathsf{F_R=9\cdot 10^9\cdot \dfrac{2,\!56\cdot 10^{-38}}{0,\!0004\cdot 10^{-12}}\cdot \sqrt{3}}\\\\\\ \mathsf{F_R=9\cdot 10^9\cdot \dfrac{2,\!56}{0,\!0004}\cdot 10^{-38-(-12)}\cdot \sqrt{3}}\end{lgathered}
F
R
=k⋅
a
2
Q
2
⋅
3
F
R
=9⋅10
9
⋅
(0,02⋅10
−6
)
2
(1,6⋅10
−19
)
2
⋅
3
F
R
=9⋅10
9
⋅
0,0004⋅10
−12
2,56⋅10
−38
⋅
3
F
R
=9⋅10
9
⋅
0,0004
2,56
⋅10
−38−(−12)
⋅
3
\begin{lgathered}\mathsf{F_R=9\cdot 10^9\cdot 6\,400\cdot 10^{-38+12}\cdot \sqrt{3}}\\\\ \mathsf{F_R=57\,600\sqrt{3}\cdot 10^9\cdot 10^{-26}}\\\\ \mathsf{F_R=57\,600\sqrt{3}\cdot 10^{-17}}\end{lgathered}
F
R
=9⋅10
9
⋅6400⋅10
−38+12
⋅
3
F
R
=57600
3
⋅10
9
⋅10
−26
F
R
=57600
3
⋅10
−17
\begin{lgathered}\mathsf{F_R\approx 99\,800\cdot 10^{-17}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{F_R\approx 9,\!98\cdot 10^{-13}~N} \end{array}}\qquad\quad\checkmark\end{lgathered}
F
R
≈99800⋅10
−17
F
R
≈9,98⋅10
−13
N
✓
Bons estudos! :-)