Question

Calcule a derivada de
$y = x \sqrt{ {a}^{2} - {x}^{2} } + {a}^{2} arc \: sen \frac{x}{a}$
A resposta é essa, mas não consigo chegar nela de jeito nenhum
$2 \sqrt{ {a}^{2} - {x}^{2} }$
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Answer 1

Queremos calcular a derivada de

$y = x \sqrt{a^2-x^2} + a^2 \arcsin \dfrac xa$

Primeiro recordamos as seguintes derivadas:

$\dfrac{d}{dx} \arcsin x = \dfrac 1{\sqrt{1-x^2}}$

$\dfrac d{dx} x^n = n x^{n-1}$  com n diferente de 0.

E também da regra da cadeia e regra do produto:

$[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \, g'(x)$

Logo temos pela regra da cadeia:

$\dfrac d{dx} \left( \sqrt{a^2-x^2} \,\right) = \dfrac d{dx} (a^2 - x^2)^{1/2} = \dfrac{1}{2}(a^2 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = -x(a^2 - x^2)^{-1/2}$

Agora usando a regra do produto temos:

$\dfrac d{dx} (x \sqrt{a^2 - x^2}\,) = x \left( -x(a^2-x^2)^{-1/2} \right) + (a^2-x^2)^{1/2}$

Já a derivada do arco seno será:

$\dfrac d{dx} \arcsin \frac xa = \dfrac 1a \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 - (\frac xa)^2}} = (a^2-x^2)^{-1/2}$

Assim concluímos:

$\dfrac {dy}{dx} = -x^2(a^2-x^2)^{-1/2} + (a^2 -x^2)^{1/2} + a^2(a^2-x^2)^{-1/2} \implies$

$\dfrac {dy}{dx} = (a^2-x^2)(a^2-x^2)^{-1/2} + (a^2 -x^2)^{1/2} \implies$

$\boxed{\dfrac {dy}{dx} = 2 (a^2 -x^2)^{1/2} = 2 \sqrt{a^2-x^2} }$

Resposta:

y' = 2√(a²-x²)