Question

Com os dados da figura abaixo, provar que PA . PB = PM . PN

Answer 1

Veja a imagem

Só devemos mostrar que esses triângulos são semelhantes. Com isso, resolvemos a questão

Veja que 'a' é um ângulo inscrito na circunferência. Portanto, sabemos que

$a=\dfrac{med(NB)}{2}$

Da mesma forma, 'b' é um ângulo inscrito:

$b=\dfrac{med(AM)}{2}$

Veja que, se olharmos para o triângulo MNP, vemos que os ângulos $B\^MP$ e $M\^BP$ também são ângulos inscritos, de modo que

$B\^MP=\dfrac{med(NB)}{2}=a\\\\\\M\^BP=\dfrac{med(AM)}{2}=b$

Como esses triângulos possuem os três ângulos iguais, eles são semelhantes

Portanto, utilizarei semelhança de triângulos:

$\dfrac{oposto~a~'a'}{oposto~a~'b'}=\dfrac{oposto~a~B\^MP}{oposto~a~M\^BP}\\\\\\\dfrac{PN}{PA}=\dfrac{PB}{PM}$

Multiplicando em cruz:

$\boxed{\boxed{PA\cdot PB=PM\cdot PN}}~~~c.q.d.$

Answer 2

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 $\large\boxed{\begin{array}{l}\sf \alpha=\dfrac{~_{BN}^{\frown}}{2}\\\\\sf\beta=\dfrac{_{BN}^{\frown}}{2}\\\sf logo~\alpha=\beta\\\sf\triangle APN\sim\triangle PMB\\\sf\dfrac{PA}{PM}=\dfrac{PN}{PB}\\\sf PA\cdot PB=PM\cdot PN~\#\end{array}}$