Question

Determinar a área da figura delimitada pela hipérbole equilátera xy = a^2, o eixo x e as retas verticais x = a e x = 2a.

Cálculo II​

Answer 1

A área da figura delimitada pela hipérbole equilátera xy = a², o eixo x e as retas verticais x = a e x = 2a é a².ln(2).

Primeiramente, vamos determinar os pontos de interseção.

xy = a² e x = a

Se x = a, então:

ay = a²

y = a.

Então, o ponto de interseção é (a,a).

xy = a² = x = 2a

Se x = 2a, então:

2ay = a²

2y = a

y = a/2.

Então, o ponto de interseção é (2a,a/2).

Os pontos de interseção entre x = a, x = 2a e y = 0 são (a,0) e (2a,0).

Logo, a área que devemos calcular é a hachurada abaixo.

Para calculá-la, utilizaremos a integral definida entre os valores a e 2a.

Dito isso, temos que:

$A=\int\limits^{2a}_a {\frac{a^2}{x} - 0} \, dx$

$A = a^2\int\limits^{2a}_a {\frac{1}{x}} \, dx$

A = a².ln(x).

Substituindo os limites de integração:

A = a²(ln(2a) - ln(a))

A = a²(ln(2a/a)

A = a².ln(2).