Question

(UEPG 2014)Marta, que adora fazer compras, vai ao shopping e, após um breve levantamento de preços em uma deter-minada loja, verifica que a quantia que ela possui pode ser usada para comprar exatamente qualquer uma das três combinações de vestuários que segue, sem sobrar nenhum dinheiro para ela.

1 calça, 2 vestidos e 18 camisas.
5 calças, 5 vestidos e 8 camisas.
8 calças, 7 vestidos e 1 camisa.

Se todas as calças têm o mesmo preço, assim como os vestidos e as camisas, assinale o que for correto.
01) O preço de 2 calças é igual ao de 1 camisa.
02) O preço de 1 vestido é igual ao de 2 camisas.
04) O preço de 3 vestidos mais o de 4 calças é igual ao de 10 camisas.
08) O preço de 1 calça é igual ao de 2 vestidos.
Como resolve isso?

Answer 1

Sejam x o preço de cada calça, y o preço de cada vestido e z o preço de cada camisa.

Como o valor de cada combinação é o mesmo, podemos escrever:

1.x + 2.y + 18.z = 5.x + 5.y + 8.z 
1.x + 2.y + 18.z = 8.x + 7.y + 1.z
5.x + 5.y + 8z = 8.x + 7.y + 1.z

Trabalhando com essas igualdades, você pode tirar alguma conclusões.

Da 1ª igualdade, x + 2y + 18z = 5x + 5y + 8z , temos:
2y - 5y + x - 5x = 8z - 18z
-3y - 4x = -10z ⇒ 3y + 4x = 10z , isto é, o preço de 3 vestidos mais o de 4 calças é igual ao de 10 camisas.
Portanto, (04) é VERDADEIRA
(DEIXEI OS TERMOS EM Y E EM X NO PRIMEIRO MEMBRO, PORQUE VI QUE UMA DAS ALTERNATIVAS ESTAVA ASSIM)

Agora vou isolar y em duas igualdades quaisquer, por exemplo, na 1ª e na 3ª:
2y - 5y = 5x + 8z - x - 18z
-3y = 4x - 10z ⇒ 3y = -4x + 10z ⇒ y = (-4x + 10z) / 3  (*)

5y - 7y = 8x + z - 5x - 8z
-2y = 3x - 7z ⇒ 2y = -3x + 7z ⇒ y = (-3x + 7z) / 2   (**)

(*) = (**) ⇒ (-4x + 10z) / 3 = (-3x + 7z) / 2 ⇒ 2(-4x + 10z) = 3(-3x + 7z)
⇒ -8x + 20z = -9x + 21z ⇒ -8x + 9x = 21z - 20z 
x = z , isto é, o preço de uma calça é igual ao preço de uma camisa.
Portanto, (01) é FALSA
(ISOLEI Y NAS IGUALDADES PARA TIRÁ-LO DA JOGADA, PORQUE VI QUE NÃO HAVIA Y EM UMA DAS ALTERNATIVAS)

Agora, da mesma forma, vamos isolar x (pode ser na 1ª e na 3ª mesmo):
4x = 10z - 3y ⇒ x = (10z - 3y) / 4  (I)

-3x = 2y - 7z ⇒ 3x = -2y + 7z ⇒ x = (-2y + 7z) / 3 (II)

(I) = (II) ⇒ (10z - 3y) / 4 = (-2y + 7z) / 3 ⇒ 4(-2y + 7z) = 3(10z - 3y) ⇒
 -8y + 28z = 30z - 9y ⇒ -8y + 9y = 30z - 28z 
y = 2z , isto é, o preço de um vestido é o preço de duas camisas.
Portanto, (02) é VERDADEIRA

Já sabemos que x = z e que y = 2z. Então, substituindo z por x em y = 2z, fica:
y = 2x ⇒ x = y/2, isto é, o valor de uma calça é a metade do valor de um vestido.
Portanto, (08) é FALSA