Question

sen x = √2/2 no intervalo de [0, 4π]

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Temos a seguinte informação:

$\sin x = \frac{ \sqrt{2} }{2} \longrightarrow [ 0,4\pi ]$

Primeiro vamos identificar qual é o ângulo que possui √2/2 como resultado, certamente você deve concordar comigo que é o ângulo de 45°, ou seja, uma de nossas respostas.

$\sin x = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \sin x = \sin45 {}^{ \circ}$

Agora vamos ter que encontrar os ângulos congruos à 45°, pois a questão diz que estamos num intervalo de 0° à 4π que corresponde a 2 voltas (1volta → 2π), para isso vamos usamos a fórmula:

$\boxed{\underbrace{\sin x = \sin \alpha }_{x = \alpha + 2k\pi \: \: ou \: \: (\pi - \alpha) + 2k\pi }}$

Aplicando a fórmula:

$x = \alpha + 2k\pi \: \: ou \: \: (\pi - \alpha ) + 2k\pi \\ \\ x = 45 {}^{ \circ} + 2k\pi \: \: ou \: \: (180 {}^{ \circ} - 45 {}^{ \circ} ) + 2k\pi \\ \\ \boxed{x = 45 {}^{ \circ} + 2k\pi \: \: ou \: \: 135 {}^{ \circ} + 2k\pi}$

Caso você queira em radianos, ficará assim:

$x = \alpha + 2k\pi \: \: ou \: \: (\pi - \alpha ) + 2k\pi \\ \\ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \: \: ou \: \: (\pi- \frac{\pi}{4} ) + 2k\pi \\ \\ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \: \: ou \: \: \frac{4\pi - \pi}{4} + 2k\pi \\ \\ \boxed{x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \: \: ou \: \: \frac{3\pi}{4} + 2k\pi }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️