Question

8) Numa coleta feita entre alunos de uma escola, foram arrecadados R$ 372,00 . O primeiro aluno doou R$ 20,00, o segundo R$ 22,00 , o terceiro R$ 24,00, e assim por diante. Pergunta-se: a) Quantos alunos fizeram a doação ? b) quanto que doou o oitavo aluno

Answer 1

Resposta:

a) 12 alunos

b) R$ 34,00

Explicação passo-a-passo:

Analisando os valores doados informados, podemos concluir que se trata de uma Progressão Aritmética, pois os valores aumentam de R$ 2,00 em R$ 2,00:

24 - 22 = 2

22 - 20 = 2

Assim, a razão desta PA vale 2.

O termo geral de uma PA é dado pela fórmula:

                           $a_{n} = a_{1} + (n - 1).r$

Onde:

$a_{n}$ = enésimo termo da PA

$a_{1}$ = primeiro termo da PA

$n$ = número de termos da PA

$r$ = razão da PA

A soma dos termos de uma PA é calculada por:

                                  $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}).n}{2}$

Onde:

$S_{n}$ = soma dos $n$ termos de uma PA

$a_{1}$ = primeiro termo da PA

$a_{n}$ = enésimo termo da PA

$n$  = número de termos da PA

Resolução

A questão nos fornece:

$S_{n}$ = 372

$a_{1}$ = 20

$r$ = 2

a) Para calcular quantos alunos fizeram a doação, precisamos calcular o número de termos da PA ($n$):

$a_{n} = a_{1} + (n - 1).r\\\\a_{n} = 20 + (n - 1).2\\\\a_{n} = 20 + 2n - 2\\\\a_{n} = 2n + 18$

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}).n}{2}\\\\372 = \frac{(20 + a_{n}).n}{2}$

Vamos substituir $a_{n} = 2n + 18$ na equação da soma dos termos:

$372 = \frac{(20 + 2n+18).n}{2}\\\\372 = \frac{(2n + 38).n}{2}\\\\372 = \frac{2n^{2} + 38n}{2}\\\\372 = \frac{2n^{2}}{2} + \frac{38n}{2}\\\\372 = n^{2} + 19n\\\\n^{2} + 19n = 372\\\\n^{2} + 19n - 372 = 0$

Sendo uma equação do 2° grau, resolveremos através da fórmula de Baskara:

$n = \frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$, onde:

$a = 1\\b = 19\\c = -372$

Assim:

$n = \frac{-19+-\sqrt{19^{2} - 4.1.(-372)}}{2.1}\\\\n = \frac{-19+-\sqrt{361 + 1488}}{2}\\\\n = \frac{-19+-\sqrt{1849}}{2}\\\\n = \frac{-19+-43}{2}\\\\\\n_{1} = \frac{-19+43}{2}\\\\n_{1} = \frac{24}{2}\\\\n_{1} = 12\\\\\\n_{2} = \frac{-19-43}{2}\\\\n_{2} = \frac{-62}{2}\\\\n_{2} = -31$

Como se trata de quantidade, não pode ser um número negativo. Portanto, vamos considerar o valor positivo de $n$. Logo, 12 alunos fizeram a doação.

b) esta alternativa pede $a_{8}$:

$a_{n} = a_{1} + (n -1).r\\\\a_{8} = 20 + (8 -1).2\\\\a_{8} = 20 + 7.2\\\\a_{8} = 20 + 14\\\\a_{8} = 34$