Question

Como que se resolve a questão número 30?

Answer 1

a)

$k=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...}}}}$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$k^{2}=\left(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...}}}}\right)^{2}\\\\k^{2}=x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...}}}}$

Como $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...}}}}=k$:

$k^{2}=xk\\\\k^{2}-kx=0\\\\k\cdot(k-x)=0$

Então, temos as possibilidades:

$k=0\\\\x-k=0~~~\therefore~~~k=x$

Como x é positivo, não vamos admitir o valor nulo

$k=x~~~~\therefore~~~~\boxed{\boxed{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...}}}}=x}}$

b)

$k=\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y...}}}}\\\\\\k^{2}=\left(\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y...}}}}\right)^{2}\\\\\\k^{2}=x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y...}}}$

Elevando os dois lados ao quadrado, novamente:

$k^{4}=x^{2}\left(\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y...}}}\right)^{2}\\\\k^{4}=x^{2}y\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{x\sqrt{y...}}}}\\\\k^{4}=x^{2}yk\\\\k^{4}-kx^{2}y=0\\\\k\cdot(k^{3}-x^{2}y)=0$

Logo:

$k=0\\\\ou\\\\k^{3}-x^{2}y=0~~~\therefore~~~k^{3}=x^{2}y~~~\therefore~~~k=\sqrt[3]{x^{2}y}$

Da mesma forma, não trabalharemos com o valor nulo:

$\boxed{\boxed{k=\sqrt[3]{x^{2}y}}}$