Com azulejos quadrados brancos e pretos todos do mesmo tamanho , construímos os seguintes mosaicos . (imagem)
Com 80 azulejos pretos , quantos azulejos brancos serão necessários para se fazer uma sequência de mosaicos como esta? (CÁLCULOS POR FAVOR)
a)55
b)65
c)75
d)85
e)100
Respostas
=> Estamos perante dois tipos de Progressões:
..A Progressão relativa aos quadrados negros é uma P.A "normal" em que a1 = 8 e r = 12 - 8 = 4
O termo geral desta P.A. será:
an = a1 + (n - 1) . r
an = 8 + (n - 1) .4
an = 8 + 4n - 4
an = 4 + 4n
Assim
a1 = 8
a2 = 12
a3 = 16
a4 = 20
a5 = 24
A soma destes 5 termos é igual a 80
...A Progressão relativa aos quadrados brancos é uma progressão de 2ª ordem
Veja que a sequência dos quadrados brancos é
1, 4, 9, ...
como Progressão de 2ª ordem ...isso implica que a diferença entre dois termos consecutivos ...não é constante
exemplo: 4 - 1 = 3 ...9 - 4 = 5
..MAS, a DIFERENÇA entre as "DIFERENÇAS" de dois termos consecutivos ...é uma progressão aritmética ..veja que
4 - 1 = 3
9 - 4 = 5
...entre 3 e 5 já existe uma razão constante, deu para perceber??
assim podemos facilmente determinar os termos seguintes da progressão
o 4º termo será
x - 9 = 7
x = 16
..e o 5º termo será:
x - 16 = 9
x = 25
veja que já temos todos os termos desta progressão: 1, 4, 9, 16, 25
.........
Como complemento de informação ....repare que esta progressão ...é uma Progressão ..de quadrados perfeitos:
a1 = 1 = 1²
a2 = 4 = 2²
a3 = 9 = 3²
a4 = 16 = 4²
a5 = 25 = 5²
..e cujo termo geral é:
an = n²
............
Retomando o nosso problema
=> A soma dos 5 termos da Progressão Aritmética dos quadrados pretos é
8 + 12 + 16´+ 20 + 24 = 80
=> A soma correspondente dos quadrados brancos é:
1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
Conclusão ..se forem utilizados 80 quadrados pretos vai ser possível construir uma sequencia de 5 mosaicos ....e isso implica que vão ser também utilizados 55 quadrados brancos.
Resposta correta: Opção - a) 55
Espero ter ajudado
São necessários 55 azulejos brancos para fazer uma sequência de mosaicos.
Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:
- O primeiro mosaico é formado de 8 azulejos pretos e 1 branco, já o segundo é formado por 12 azulejos pretos e 4 brancos;
- O número de azulejos pretos em cada mosaico segue uma progressão aritmética de razão 4;
- O terceiro mosaico será então formado por 16 azulejos pretos e dessa forma, 9 azulejos brancos, o que significa que o número de azulejos brancos é dado por n², onde n é o n-ésimo mosaico;
Com essas informações, temos que com 80 azulejos pretos, formaremos:
an = a1 + (n - 1).r
an = 8 + 4.n - 4
an = 4 + 4.n
Sn = (a1 + an).n/2
80 = (8 + 4 + 4n).n/2
160 = 12n + 4n²
Resolvendo por Bhaskara, temos: n = 5 e n = -8. Como n > 0, temos que n = 5, logo, o número de azulejos brancos será:
x = 1² + 2² + 3² + 4² + 5²
x = 1 + 4 + 9 + 16 + 25
x = 55
Resposta: A
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