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Resposta:
P = 103,6cm
Explicação passo-a-passo:
Como os triângulos ΔABC e ΔAMN possuem o ângulo A em comum e possuem 30º como outro ângulo em comum, então podemos dizer que são triângulos proporcionais.
Isso significa que eles possuem todos os ângulos iguais, mas os lados estão em tamanhos diferentes (porem proporcionais).
Para achar essa proporção vamos analisar os lados de acordo com os ângulos.
O símbolo de proporcional é ∝.
Assim:
MN ∝ BC
MA ∝ AC
AN ∝ AB
Do triângulo ΔAMN conhecemos apenas MN, então para saber que número temos que multiplicar de BC para transformar em MN:
MN = x.BC
x = MN / BC
x = 33,6 / 84
x = 0,4
Agora basta multiplicar 0,4 nos outros lados de ΔABC para descobrir os lados de ΔAMN:
MA = x.AC
MA = 0,4.120
MA = 48cm
AN = x.AB
AN = 0,4.54
AN = 21,6cm
O perímetro é a soma de todos os lados, então o perímetro do triângulo ΔAMN é:
P = MN + MA + AN
P = 33,6 + 48 + 21,6
P = 103,6cm