Question

DERIVADAS

Seja
$y = {e}^{ - t} cos2t$
Verifique que
$\frac{ {d}^{2}y }{dt} + 2 \frac{dy}{dt} + 5y = 0$

​

Answer 1

Temos a função $\mathsf{y=e^{-t}\cos(2t).}$

Deseja-se verificar que:

$\mathsf{\dfrac{d^{2}y}{dt}+2\dfrac{dy}{dt}+5y=0.}$

De início, calculemos $\mathsf{\dfrac{dy}{dt},}$ ou seja, a derivada da função y em relação à variável t. Temos:

$\mathsf{\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{d(e^{-t}\cos(2t))}{dt}}=\\\\=\mathsf{\dfrac{d(e^{-t})}{dt}\cdot\cos(2t)+e^{-t}\cdot\dfrac{d(\cos(2t))}{dt}}=\\\\=\mathsf{-e^{-t}\cdot\cos(2t)-2e^{-t}\sin(2t)}$

Então,

$\boxed{\mathsf{\dfrac{dy}{dt}=-e^{-t}\cdot\cos(2t)-2e^{-t}\sin(2t)}}$

Agora vamos calcular $\mathsf{\dfrac{d^{2}y}{dt},}$ isto é, a segunda derivada da função y em relação à variável t. Dessa forma, temos:

$\mathsf{\dfrac{d^{2}y}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dt}\right)}=\\\\=\mathsf{\dfrac{d}{dt}\left(-e^{-t}\cdot\cos(2t)-2e^{-t}\sin(2t)\right)}=\\\\=\mathsf{e^{-t}\cdot\cos(2t)+2e^{-t}\sin(2t)-4e^{-t}\cdot\cos(2t)}=\\\\=\mathsf{-3e^{-t}\cos(2t)+4e^{-t}\sin(2t)}$

Desse modo:

$\boxed{\mathsf{\dfrac{d^{2}y}{dt}=-3e^{-t}\cos(2t)+4e^{-t}\sin(2t)}}$

Agora, vamos substituir os resultados encontrados na expressão $\mathsf{\dfrac{d^{2}y}{dt}+2\dfrac{dy}{dt}+5y.}$ Fazendo isso, segue que:

$\mathsf{\dfrac{d^{2}y}{dt}+2\dfrac{dy}{dt}+5y}=\\\\=\mathsf{-3e^{-t}\cos(2t)+4e^{-t}\sin(2t)+2[-e^{-t}\cos(2t)-2e^{-t}\sin(2t)]+5e^{-t}\cos(2t)}=\\\\=\mathsf{-3e^{-t}\cos(2t)+4e^{-t}\sin(2t)-2e^{-t}\cos(2t)-4e^{-t}\sin(2t)+5e^{-t}\cos(2t)}=\\\\=\mathsf{\cancel{-5e^{-t}\cos(2t)}+\bcancel{4e^{-t}\sin(2t)}-\bcancel{4e^{-t}\sin(2t)}+\cancel{5e^{-t}\cos(2t)}}=\\\\=\mathsf{0}$

Portanto,

$\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{d^{2}y}{dt}+2\dfrac{dy}{dt}+5y=0.}}}$

$\dotfill$

Dúvidas? Comente.

Answer 2

Para resolver a questão basta derivar calcular a derivada primeira e segunda de y e substituir em y'' +2y'+5y encontrando zero. Isso já foi feito na outra resposta, então vamos resolver de maneira diferente.

1) Derivando implicitamente.

Podemos escrever

$ye^t = \cos(2t)$

Usando a regra do produto e derivando temos

$y' e^t + y\,e^t = -2\sin(2t)$

Derivando novamente (vamos substituir cos(2t) por y e^t na primeira equação abaixo)

$y''e^t + y 'e^t + y'e^t + y\,e^t = -4 \cos(2t) = -4e^t\, y$

$e^t( y'' + 2y '+y) = -4e^t\, y$

$y'' + 2y '+y = -4y \implies \boxed{y''+2y'+5y = 0}$

2) Usando variável complexa.

A fórmula de Euler diz que

$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$

Isso quer dizer que se considerarmos a função z(t) como abaixo temos

$z(t) = e^{t(-1+2i)} = e^{-t - 2ti} = e^{-t}\, e^{2ti} = e^{-t} ( \cos 2t + i \sin 2t)$

Ou seja, a função y é a parte real da função z. Para continuarmos, basta saber que podemos derivar esse tipo de função complexa de maneira muito similar ao que fazemos com funções reais. Assim temos

$z = e^{t(-1+2i)} \implies \begin{cases}z' = (-1+2i) e^{t(-1+2i)} = (-1+2i)z \\[1.5ex] z'' = (-1+2i)^2 e^{t(-1+2i)} = (-1+2i)^2z \end{cases}$

Assim temos:

$z'' + 2z' + 5z = (-1+2i)^2z + 2(-1+2i)z + 5z \\[2ex]\phantom{z''+2z'+5z} = \left[ (-1+2i)^2 + 2(-1+2i) +5\right] z$

Fazendo as contas, encontramos (-1+2i)² + 2(-1+2i) + 5 = 0. Assim, temos

$y'' + 2y' + 5y = \textrm{Re}\left(z'' + 2z' + 5\right) = \textrm{Re}(0) = 0$

Obs.: Essa segunda solução não é importante para um aluno que acabou de aprender derivadas, mas é interessante saber que existe uma relação muito próxima entre funções exponenciais e funções trigonométricas (apesar de parecer que uma não tem absolutamente nada a ver com a outra). Essa relação costuma ser mais explorada ao estudarmos cálculo em uma variável complexa ou em equações diferenciais por exemplo.