Question

Determine os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 2 x² + 8 y² = 32.

a) F1(-√14 , 0) F2(√14 , 0) e A1(- 4 , 0) A2(4 , 0)
b) F1(-√4 , 0) F2(√4 , 0) e A1(- 14 , 0) A2(14 , 0)
c) F1(- 2 , 0) F2(2 , 0) e A1(- √8 , 0) A2(√8 , 0)
d) F1(-8 , 0) F2(8 , 0) e A1(- √2 , 0) A2(√2 , 0)
e) F1(-4 , 0) F2(2 , 0) e A1(- 2 , 0) A2(4 , 0)

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Temos a seguinte equação de uma elipse:

$\bigstar \: 2x {}^{2} + 8y {}^{2} = 32 \: \bigstar$

Agora vamos comparar essa equação com a equação reduzida de uma elipse:

$\boxed{ \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1}$

Note que elas estão em um formato diferente, então vamos fazer com que ela fique dessa forma ↑, para isso vamos dividir todas a equação por 32.

$2x {}^{2} + 8y {}^{2} = 32 \\ \\ \frac{2x {}^{2} }{32} + \frac{8y {}^{2} }{32} = \frac{32}{32} \\ \\ \boxed{\frac{ {x}^{2} }{16} + \frac{y {}^{2} }{4} = 1}$

Como maior valor está sobre "x²", podemos dizer então que o eixo maior é o eixo "x".

Note que no local de a², está o número 16, então quer dizer que podemos igualá-los:

$a {}^{2} = 16 \\ a = \sqrt{16} \\ \boxed{a = 4}$

Do mesmo jeito, o valor 4 ocupa a posição de b², então vamos igualá-los:

$b{}^{2} = 4 \\ b = \sqrt{4} \\ \boxed{ b = 2}$

Por fim vamos calcular o foco através de Pitágoras:

$a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ 16 = 4 + c {}^{2} \\ 16 - 4 = c {}^{2} \\ 12 = c {}^{2} \\ c = \sqrt{12} \\ c = \sqrt{4.3} \\ c = \sqrt{4} . \sqrt{3} \\ \boxed{ c = 2 \sqrt{3}}$

Portanto, temos a seguinte resposta:

$\begin{cases} \sf{Foco_1} = (2 \sqrt{3}, 0)\\ \sf{Foco_2} = ( - 2 \sqrt{3} , 0)\\ \\ a_1 = (4, 0)\\ a_2 = (- 4 ,0) \end{cases}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️