Question

Uma câmara sonora é um espaço em que, se duas pessoas estão nas posições especificadas como foco, elas podem falar entre si, mesmo falando baixo a uma distância considerável. Isso porque os painéis colocados atrás delas são partes de uma mesma elipse cujos focos são as posições das cabeças das pessoas.Na câmara sonora representada na Figura a seguir, a distância entre as duas pessoas é de 20 m, e a distância de cada pessoa até um vértice da elipse é de 2 m. A equação da elipse que contém os painéis da câmara representada no sistema de eixos proposto na Figura é:

a) x²/4+ y²/44=1
b) x²/44+ y²/100=1
c) x²/44+ y²/144=1
d) x²/100+ y²/44=1
e) x²/144+ y²/44=1

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

A questão nos diz que a distância de cada pessoa ao extremo é 2m, então vamos adicionar a esses 20m a metragem de 4m, pois são duas pessoas, fazendo isso descobrimos a distância entre os pontos dos eixos maiores.

Uma das características da elipse nos diz que a distância entre os extremos (a) é igual a 2a, então temos que:

$2a = 24 \\ a = \frac{24}{2} \\ \boxed{a = 12}$

Descobrimos então o valor de "a". Como a elipse está "deitada" o valor de "a" estará abaixo de x², então a fórmula será dada por:

$\boxed{ \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1}$

Substituindo:

$\frac{x {}^{2} }{12 {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1 \\ \\ \frac{x {}^{2} }{144} + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1$

Agora temos que achar o valor de "b", para isso vamos usar a relação pitagórica que nesse caso relaciona o maior eixo (a), o menor eixo (b) e o foco (c), desse dados nos faltam o foco e o valor do eixo menor, mas as características da elipse nos dizem que a distância entre os focos é 2c, sabemos que a distância total é 20m, então vamos descobrir quanto vale "c".

$2c = 20 \\ c = \frac{20}{2} \\ \boxed{c = 10}$

Substituindo na relação:

$a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ 12 {}^{2} = b {}^{2} + 10 {}^{2} \\ 144 = b {}^{2} + 100 \\ 144 - 100 = b {}^{2} \\ b {}^{2} = 44 \\ \boxed{b = \sqrt{44} }$

Por fim temos que substituir no local de "b" na fórmula:

$\frac{x {}^{2} }{144} + \frac{ {y}^{2} }{( \sqrt{44}) {}^{2} } = 1 \\ \\ \boxed{\frac{x {}^{2} }{144} + \frac{y {}^{2} }{44} = 1}$

Resposta: letra e)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️