Question

VETORES Estabelecer as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3,6,4), intercepta o eixo Oz e é paralelo ao plano alfa: x - 3y + 5z - 6=0​

Answer 1

Seja r a reta que queremos encontrar e seja β o plano paralelo a α passando por A. Como a equação de α e x-3y+5z-6=0 segue que a equação de β é x-3y+5z+d=0 para algum número d. Já que A∈β segue que

3 - 3*6 + 5*4 + d = 0 ⇒ d = -5

Ou seja, β tem equação x - 3y + 5z -5 = 0

Sabemos que r é paralelo ao plano α. Disso segue que r está contido no plano β. Seja P a interseção de β e o eixo Oz. Assim, r passa por A e passa por P. Portanto, basta encontrar P. Temos então:

Plano β: x - 3y + 5z -5 = 0

Eixo Oz: x = y = 0

Resolvendo o sistema acima encontramos x = y = 0 e z = 1. Ou seja, P = (0,0,1). Portanto r é a reta passando por A = (3,6,4) e P = (0,0,1)

O vetor diretor é A - P = (3,6,3) = 3(1,2,1)

Logo r tem equação (x,y,z) = (0,0,1) + t(1,2,1). Passando pra forma simétrica encontramos

$\dfrac x1 = \dfrac y2 = \dfrac{ z-1}1$

Resposta:

x/1 = y/2 = (z-1)/1