Question

Encontre a reta tangente a curva y=6+x/3-x no ponto p=(0,2)

Answer 1

Reta tangente à curva :

$\displaystyle \sf y = \frac{6+x}{3-x}$

no ponto p = (0,2)

1ª forma : usando derivada.

Reta tangente à curva no ponto p = (0,2) :
$\sf y - 2 = m(x-0) \\\\ mx-y+2=0$

o coeficiente da reta tangente à curva é a derivada da curva no ponto, dado, isso é :

$\displaystyle \sf m =y'(0) \\\\ y' = \left(\frac{6+x}{3-x} \right)' \\\\\\ \text{regra do quociente}} : \\\\ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2} \\\\ Da{\'i}}: \\\\ y' = \frac{(6+x)'\cdot (3-x)-(6+x)\cdot (3-x)'}{(3-x)^2} \\\\\\ y' = \frac{3-x-(6+x)\cdot(-1)}{(3-x)^2} \\\\\\ y'=\frac{3-x+6+x}{(3-x)^2} \\\\\\ y' = \frac{9}{(3-x)^2} \\\\\\ m=y'(0) = \frac{9}{(3-0)^2} \to \boxed{\sf m =1\ }$

Portanto a equação da reta tangente será :

$\displaystyle \sf \Large\boxed{\sf \ x-y+2=0\ }\checkmark$

2ª forma : substituindo o y pela equação da reta tangente.

Equação da reta tangente à curva no ponto p=(0,2) :

$\sf y -2=m(x-0) \\\\ y = mx+2$

substituindo esse valor na equação da curva para achar o m :

$\displaystyle \sf y =\frac{6+x}{3-x} \\\\\\ mx+2 = \frac{6+x}{3-x} \\\\\\ (mx+2)(3-x)=6+x \\\\ 3mx-mx^2+6-2x - 6 -x = 0 \\\\ -mx^2+x(3m-3) = 0 \\\\ \text{Se a reta \'e tamgemte ent\~ao s\'o h\'a uma interse\c c\~ao, logo }\Delta = 0 : \\\\ b^2-4ac+0 \\\\ (3m-3)^2-4\cdot (-m)\cdot 0 = 0 \\\\ (3m-3)^2 = 0 \\\\ 3m-3=0 \\\\ 3m=3\\\\\boxed{\sf m=1 }$
Portanto a equação da reta tangente será :

$\displaystyle \sf \Large\boxed{\sf \ x-y+2=0\ }\checkmark$